Tomando las desigualdades cuando se trata de sumas

Question

Tengo un problema im problemas y hasta ahora tengo que $|f_i(x) - f_i(y)| < \epsilon / \sqrt{n}$ donde $\epsilon , n >0$

Ahora estoy tratando de usar esta desigualdad aquí:

$$\|f(x) - f(y) \|_2 = [ \sum_i^n (f_i(x) - f_i(y))^2 ] ^{1/2} < \left ( \sum_i^n (\epsilon / \sqrt{n} )^2 \right )^{1/2} = \epsilon$$

Este es el resultado que quiero, pero no estoy seguro de si puedo aplicar la desigualdad directamente debajo de la raíz cuadrada de la suma.

Además, el libro que estoy mirando directamente escribió:

$$[ \sum_i^n (f_i(x) - f_i(y))^2 ] ^{1/2} \leq n^{1/2} \text{max}_i | f_i(x) - f_i(y) | < n^{1/2} \epsilon / \sqrt{n} = \epsilon$$

No entiendo lo que han hecho aquí, así que yo estoy pidiendo:

• Si alguien podría por favor explicar lo que han hecho
• Si lo que he hecho es del todo correcta, si no cómo lo puedo corregir

muchas gracias

Answer 1

TH primera desigualdad $$[ \sum_i^n (f_i(x) - f_i(y))^2 ] ^{1/2}

El segundo un $$[ \sum_i^n (f_i(x) - f_i(y))^2 ] ^{1/2} \leq n^{1/2} \text{max}_i | f_i(x) - f_i(y) | $$ is also justified as $$0 \le (f_i(x) - f_i(y))^2 \le (\text{max}_i | f_i(x) - f_i(y) |)^2$$ for $1 \le i \le n$ y otra vez porque la raíz cuadrada es una función creciente.