Prueba simple para una suma

Question

Que $k=(1+\frac{1}{3} +\frac{1}{5} +\cdots+\frac{1}{2n+1}$) ahora probar cada $n\in \Bbb{N}$, $k$ número no es naturaleza.

Answer 1

Una exageración, pero Bertrand Postulado soluciona. Definir $f(n):=3\cdot 5\cdots (2n+1)$. Por contradicción, supongamos $k\in\Bbb Z^+$. Entonces:

$$f(n)\cdot k=f(n)+\frac{f(n)}{3}+\cdots + \frac{f(n)}{2n+1}\in\Bbb Z^+\tag{1}$$

Por BP existe un primer $(2n+1)/2<p<2n+1$. Pero $p$ divide todo en $(1)$ con la excepción de $\frac{f(n)}{p}$, contradicción.

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Sin PB: tomar el poder más alto de $3$ (dejar ser $3^N$) que se puede dividir cualquiera de los denominadores. Entonces existe exactamente una fracción, es decir,$\frac{1}{3^N}$, con un denominador divisible por $3^N$ (debido a $2\cdot 3^N$ es regular y no una parte de $k$; y $3\cdot 3^{N}$ es divisible por $3^{N+1}$).

Multiplicar ambos lados por $3^{N-1}$:

$$3^{N-1}k=3^{N-1}+\frac{3^{N-1}}{3}+\cdots + \frac{3^{N-1}}{a}+\frac{1}{3}+\frac{3^{N-1}}{b}+\cdots + \frac{3^{N-1}}{2n+1}$$

$$-\frac{1}{3}=3^{N-1}+\frac{3^{N-1}}{3}+\cdots+\frac{3^{N-1}}{a}+\frac{3^{N-1}}{b}+\cdots + \frac{3^{N-1}}{2n+1}-3^{N-1}k$$

En el lado derecho, no hay fracciones con denominador divisible por $3$ (cuando es reducido), mientras que el lado izquierdo es reducido y tiene un demoninator divisible por $3$. Contradicción.

Idea tomada de esta respuesta.