Serie Taylor para $\tan^{2}(x)$

Question

Me siento un poco tonto preguntando, pero estoy tratando desesperadamente de encontrar la expresión general para la serie de Taylor de $\tan^2(x)$ en $x = 0$ .

Tal y como se ha dado aquí vemos la serie de Taylor para $\tan(x)$ :

$$ \tan(x) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1}$$

Como tal:

\begin {align} \tan ^{2}(x) &= \left [ \sum ^{ \infty }_{n=1} \frac {B_{2n} (-4)^n \left (1-4^n \right )}{(2n)!} x^{2n-1} \right ]^{2} \\ &= \left [ \sum ^{ \infty }_{n=1} \frac {B_{2n} (-4)^n \left (1-4^n \right )}{(2n)!} x^{2n-1} \right ] \left [ \sum ^{ \infty }_{m=1} \frac {B_{2m} (-4)^m \left (1-4^m \right )}{(2m)!} x^{2m-1} \right ] \\ &= \sum ^{ \infty }_{n=1} \sum ^{ \infty }_{m=1} \frac {B_{2n} (-4)^n \left (1-4^n \right )}{(2n)!} x^{2n-1} \frac {B_{2m} (-4)^m \left (1-4^m \right )}{(2m)!} x^{2m-1} \\ &= \sum ^{ \infty }_{n=1} \sum ^{ \infty }_{m=1} \frac {B_{2n} (-4)^n \left (1-4^n \right )}{(2n)!} \frac {B_{2m} (-4)^m \left (1-4^m \right )}{(2m)!} x^{2n + 2m-2} \end {align}

Sin embargo, estoy perdido tratando de encontrar $a_{n}$ tal que,

$$\tan^{2}(x) = \sum_{n} a_{n} x^{n} $$

¿Alguien tiene alguna indicación sobre cómo abordar este problema?

Además, ¿es más fácil trabajar con $\sec^2(x)$ ¿en su lugar?

Answer 1

Si $\tan x=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n}$ y tomamos un intervalo

$-\pi/2<-r<0<r<\pi/2$ entonces para $x\in (-r,r)$ tenemos

$1+\tan^2x=\sec^2x=\frac{d\tan x}{dx}\Rightarrow$

$1+\tan^2x=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}\Rightarrow$

$\tan^2x=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}-1$

y así se pueden obtener los coeficientes de Taylor de $\tan^2$ de los de $\tan.$