Soluciones periódicas del péndulo doble

Question

Estoy atascado: ¿Hay soluciones periódicas del péndulo doble ¿o no?

La cuestión es cuádruple:

1. En cada doble péndulo - definido por dos masas $m_1$ , $m_2$ y longitudes $l_1$ , $l_2$ - (Lo que es seguro es que si hay soluciones periódicas (en el espacio de fase) es una solución, es muy inestable).

2. Si no es así: ¿? cualquier ¿el péndulo doble tiene soluciones periódicas? Si es así: ¿Cómo debe $m_1$ , $m_2$ , $l_1$ , $l_2$ ¿se relacionan?

3. Si es así: ¿Pueden darse explícitamente las condiciones iniciales que dan lugar a soluciones periódicas? (Si es así: ¿un ejemplo?)

4. ¿Existe la posibilidad de calcular y visualizar una solución periódica? (Nunca he visto uno hasta el día de hoy).

¿Podría darse el caso de que para cada solución que parece periódica a primera vista, haya una solución que sea realmente periódica, por ejemplo, para este

Que de hecho es no periódico (al menos no de forma evidente):

Answer 1

Para mayor claridad, me remito a las siguientes definiciones de los parámetros del péndulo doble, y me remito a las ecuaciones de movimiento enumeradas aquí .

Respondiendo en orden a las preguntas formuladas:

1. Aunque no estoy seguro de que todo péndulo doble tenga una solución matemáticamente periódica, todos pueden tener al menos aproximadamente soluciones periódicas cuando los ángulos $\theta_1$ , $\theta_2$ y sus tasas de cambio $\dot{\theta_1}$ , $\dot{\theta_2}$ son pequeños. Esto se debe a que los únicos términos no lineales en las ecuaciones de movimiento implican estos ángulos, y en el límite de ángulos pequeños se pueden linealizar con precisión las ecuaciones de movimiento y encontrar modos normales que son aproximadamente modos normales del verdadero sistema.
2. Sí, es decir, si tomas $l_1 = l_2$ y hacer que los ángulos iniciales y sus tasas de cambio sean los mismos ( $\theta_1 =\theta_2 = \theta$ , $\dot{\theta_1} = \dot{\theta_2} = \dot{\theta}$ ), esto generará un movimiento periódico en el que el péndulo doble se balancea como un solo péndulo. Esto es totalmente independiente de las masas, y puede verificarse a partir de la sustitución directa en las ecuaciones de movimiento, ya que hace que las ecuaciones de evolución para cada ángulo se desacoplen y sean idénticas.
3. Ver arriba.
4. Aunque la solución mencionada es ciertamente periódica, también es inestable. Cualquier pequeña diferencia en los ángulos hará que surjan y crezcan las no linealidades, desechando la periodicidad. Por lo tanto, modelar numéricamente una solución periódica para un péndulo doble a partir de las ecuaciones de base es casi imposible, lo que probablemente es la razón por la que no se ha visto esto. Me atrevería a decir que esta es también la razón por la que la solución que usted demuestra parece periódica pero no lo es a largo plazo; es probable que haya dado con una solución periódica (o muy cercana a ella), pero o bien no está en las condiciones iniciales exactas necesarias o el error numérico hace que la periodicidad desaparezca finalmente.