Soluciones de números complejos para un círculo

Question

Tengo un círculo de radio 5, con su centro en el origen se representa como $X^2+Y^2=25$. Me sale que tiene una solución para todos los valores van desde $-5$ a $+5$.

Mi pregunta es, ¿qué significa que la ecuación devuelve un número complejo? Ejemplo de $x=6$, I se $y = \pm i\sqrt{11}$. En hacer esto para todo número real mayor que $+5$ y menos de $-5$, lo que se volvió/se grafican y se lo que es un plano de esta parcela? Es este otro círculo en el plano imaginario, todos los valores en el plano más allá de un círculo?

Answer 1

Cuando se hace un gráfico de las soluciones en "el plano", que son la restricción de ti a buscar soluciones a la ecuación en la que tanto $x$ e $y$ son reales. Usted podría, por ejemplo, restringir aún más para permitir sólo las $x$ e $y$ a los números racionales, y pensar acerca de cómo los puntos de ajuste con todas las soluciones reales.

Pensar geométricamente acerca de la no-real de soluciones complejas, usted necesitará más (real) dimensiones! Se pueden restringir a sí mismo, como parece que están haciendo en la pregunta, a soluciones justas donde $x$ es real y $y$ es permitido ser complejo. Entonces usted tendrá otra dimensión/dirección para la parte imaginaria de $y$. Usted podría gráfico en un "$z$" dirección, de modo que las soluciones que $x>5$ , no se encuentran en el avión, pero por encima de/debajo de ella. Usted encontrará que para $|x|>5$ las soluciones serán los puntos donde $x^2 - z^2 = 25$ así que si usted acaba de ver el $(x,z)$ plano el conjunto solución se verá como una hipérbola.

Probablemente la cosa más interesante a tener en cuenta es cuando se permite que tanto $x$ e $y$ a ser complejo... pero graficar esto requeriría más dimensiones.

Answer 2

Permítanme indicar por $A$ el círculo que considerar: $$ A=\{(x,y)\in\mathbb R^2, x^2+y^2=25\}. $$ Esta es la costumbre real círculo y esto es lo que un círculo en el plano medio, a menos que algo diferente está específicamente explicó. Este conjunto se compone de todos los pares $(x,y)$ de los números de $x$ e $y$ cuales son los números reales y satisfacer la ecuación de $x^2+y^2=25$.

Insisto en que es parte de la definición misma de $A$ que los dos números son reales. Usted puede preguntar si un punto de $(x,y)$ puede ser en $A$ si $x=6$. Como se encuentra, si $x=6$ y la ecuación de $x^2+y^2=25$ está satisfecho, entonces $y=\pm i\sqrt{11}$. Pero desde $y$ no es en $\mathbb R$, el punto de $(x,y)$ no es en $A$. Lo que falla no es la ecuación de $x^2+y^2=25$ pero con la condición de que $x\in\mathbb R$ e $y\in\mathbb R$. Se podría decir que ha encontrado una solución de la ecuación que no está en el plano de la $\mathbb R^2$.

También se puede considerar un conjunto diferente: $$ B=\{(x,y)\in\mathbb C^2, x^2+y^2=25\}. $$ Este conjunto se ve muy similar a la del $A$, pero los dos números de $x$ e $y$ ahora puede ser complejo. Usted puede llamar a $B$ una complejización de la $A$. Desde $\mathbb R\subset\mathbb C$, tenemos $A\subset B$. Pero hay puntos en $B$ que no están en $A$. Por ejemplo, el punto de $(6,-i\sqrt{11})$ es de $B$ — ambos números son complejas y la ecuación se satisface — pero no en $A$ como se discutió anteriormente. Sin embargo, el conjunto $B$ no es lo que normalmente se denomina un círculo. Es una especie de extensión del círculo, pero de una manera extraña.

Si usted identificar a $\mathbb C$ con $\mathbb R^2$, a continuación, $B$ es una superficie de dos dimensiones en $\mathbb R^4$, mientras que el $A$ es un one-dimensional de la curva en $\mathbb R^2$. De la intersección de la superficie con un adecuado plano bidimensional en $\mathbb R^4$ da un círculo ($B\cap\mathbb R^2=A$).

Answer 3

No, usted no consigue un punto en otro círculo en el plano complejo si dejas $x=6$ e $y= \pm i\sqrt {11} $

El plano complejo es el mismo que el de costumbre, $xy$ plano y no se puede parcela $(6, i\sqrt {11})$ sobre el plano complejo, porque esto no es un solo punto más.

Una forma para encontrar más círculos se considerar $x^2+y^2 = R^2 $ donde R es el radio y usted puede escoger cualquier $R$ gráfico y su círculo en la $xy$ plano o como quieras llamarlo en el plano complejo.

Answer 4

Todos los puntos que se encuentran dentro o en el límite del círculo $$ \left\{ \ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \ \colon \ x^2+ y^2 = 5^2 \ \right\} $ $ se encuentran a la derecha de la línea $$ \left\{ \ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \ \colon \ x = -5 \ \right\} $ $ y a la izquierda de la línea $$ \left\{ \ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \ \colon \ x = 5 \ \right\}. $ $ Además, el círculo se interseca la primera línea en el punto $(-5, 0)$ y la última en el punto $(5, 0)$ .