¿Es cierto que si el conjunto de $A=\{x:f(x) =c\}$ es medible para cada $c$ $\Bbb R$, entonces $f$ es medible?

Question

Deje $f: [0;1] \to \Bbb R$. Es cierto que si el conjunto $A=\{x:f(x) =c\}$ es medible para cada $c$ en $\Bbb R$, a continuación, $f$ es medible?

Tengo este ejemplo contrario $f(x) =x$ si $x$ pertenecen a $P$, $f(x) =-x$ otra manera, en el $P$ no es medible conjunto en $[0,1]$.

$A$ es medible, sino $f$ no es medible función.

Me había demostrado que la $f$ no es medible, pero ¿cómo puedo demostrar que $A$ es medible y lo que es $A$ en este ejemplo ?

Answer 1

Como usted piensa, la respuesta a la pregunta es no. Sin embargo, no estoy seguro de cómo su ejemplo de trabajo. Tal vez sí, pero yo soy incapaz de demostrar que existe un conjunto medible $U$ tal que $f^{-1}(U)$ no es mensurable en su ejemplo. Tuve un lapso de inteligencia un poco. Los comentarios debajo de la pregunta y bajo mi respuesta han explicado cómo el OP de la función de las obras. Sin embargo, yo tengo otro contraejemplo.

Tenga en cuenta que no existe (por el Axioma de Elección) que no se pueden medir subconjunto $X$ de $\left[0,1\right]$. Este conjunto tiene la misma cardinalidad como $\left[\dfrac12,1\right]$, de modo que existe un bijection de $g:X\to \left[\dfrac12,1\right]$. Tenga en cuenta también que $[0,1]\setminus X$ e $\left[0,\dfrac12\right)$ son también equinumerous, de modo que existe un bijective función de $h:\big([0,1]\setminus X\big) \to \left[0,\dfrac12\right)$.

Definir $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ a $$f(x):=\begin{cases}g(x)&\text{if }x\in X\,,\\h(x)&\text{if }x\in[0,1]\setminus X\,.\end{cases}$$ Tenga en cuenta que $f^{-1}\big(\{c\}\big)$ está vacío o un singleton para cada una de las $c\in\mathbb{R}$ (es vacío si $c\notin[0,1]$, y es un singleton si $c\in[0,1]$). Sin embargo, para el conjunto medible $M:=\left[\dfrac12,1\right]$, $f^{-1}(M)=X$ no es mensurable. Que es, $f$ no es una función medible.