¿Una superficie cerrada del género $\geq$ 2 se puede incrustar en un producto de gráficos?

Question

Que <span class="math-container">$S$</span> sea una cerrado superficie orientable de género <span class="math-container">$g \geq 2$</span>. ¿Hay una incorporación de <span class="math-container">$S$</span> en el producto de dos gráficos <span class="math-container">$G_1$</span> y <span class="math-container">$G_2$</span>? No puedo pensar en tal inclusión pero no sé las obstrucciones para este tipo de cosas.

Answer 1

Un género $g$ de la superficie se puede encontrar en el producto $G_{g+1} \times G_{g+1}$ donde $G_n$ es el vértice 2 gráfico con $n$ bordes entre ellos. Para hacer esto para el género de los dos casos, si $e_1,e_2,e_3$ son los bordes, se puede quitar de $G_3 \times G_3$ las tres caras $e_i \times e_i$. Se puede comprobar que se trata de una superficie cerrada desde cada borde es de dos caras, y entonces usted puede calcular la característica de Euler para ver que es de género 2.

Más de un género similar. Como se mencionó antes, estos nunca será objetivo en el nivel de los grupos fundamentales.