¿Cuál es el valor máximo de$n$ con un valor promedio que debe ser un número entero?

Question

Deje $M$ ser un entero positivo mayor que $1$. Todos los números enteros a partir de $1$ a $M$ fueron escritas en un tablero.

Cada vez que borrar un número entero positivo en el tablero de manera que el valor promedio de todos los números que han sido borrados siempre debe ser un número entero.

Asumir que no se $n$ números que han sido borrados ($1 \leq n \leq M$, $n$ no es un número constante). El proceso finalizará con $n$ números si y sólo si es imposible de borrar la $(n+1)th$ número, de tal forma que el valor promedio de $n+1$ borran los números puede ser un número entero.

De todas las maneras posibles para borrar los números, ¿cuál es el máximo y el mínimo valor que $n$ puede llegar?

Por ejemplo, con $M=3$, tenemos el máximo de $n$ es $3$ (elija $a_1=1$, $a_2=3$, $a_3=2$ ) , el valor mínimo de $n$ es $1$ (elija $a_1=2$, entonces es imposible elegir a$a_2=1$ o $a_2=3$ porque $\frac{2+1}{2}, \frac{2+3}{2}$ no son enteros). Para mayor $n$, pensé que me puede solucionar con el Teorema del Resto Chino, pero yo no sabía cómo usarlo.

Es posible encontrar el valor mínimo o máximo de $n$?. Si no, ¿cuáles son las condiciones de $M$ , de modo que el valor mínimo o máximo de $n$ se puede encontrar?

(Lo sentimos, el inglés es mi segunda lengua, así que la pregunta puede claro para algunos lectores)

Answer 1

EDIT: he editado el post porque al principio me hizo promedio como $\frac{1}{2}\sum a_i$ en lugar de $\frac{1}{i}\sum a_i$. Abajo está la respuesta corregido:

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Modelando el problema de máximo o mínimo, se obtiene:

\begin{align*} \text{max/min }&\sum_{i=1}^{m}b_i\\ \text{such that }& b_11+b_22+\cdots+b_MM=Mk\\ &b_i\in\{0,1\},k\in\mathbb{N} \end{align*}

Supongamos $M=1$. Podemos borrar el único valor: $1$, y el promedio es $\frac{1}{1}=1$ un entero. Por lo tanto, max=min=$1$.

Supongamos $M=2$. Sólo podemos borrar $2$, debido a $\frac{3}{2}\notin \mathbb{Z}$. Por lo tanto, max=min=$1$.

Ahora supongamos $M\geq 3$. Vamos a ver por lo $M$'s podemos borrar todos los números, que es $n=M$: $$ 1+2+\cdots+M = \frac{M(M+1)}{2} = Mk \rightarrow M=2k-1 $$ Por tanto, para $M\in\{3,5,7,9,\cdots\}$ podemos borrar todos los números para obtener el promedio de un número entero.

Hemos cubierto los casos de $M$ cuando es impar y $M\geq 3$. Vamos a ver qué sucede en los casos de $M$ es incluso, que es, $M=2q$. $$ 1+2+\cdots+2t = \frac{2t(2q+1)}{2} = p(2q+1) = 2t^2+q $$ Queremos que el resultado sea igual a $Mk=2qk$ para algunos $k \in \mathbb{N}$. Por lo tanto si dejamos $b_q=0$ obtenemos la suma como: $$ 1+2+\cdots + 2t - q = 2q^2+q - q = 2q^2 $$ Y que es igual a $2qk$ para $k=q$. Por lo tanto, para $M=2q$ obtenemos $n=M-1$.

Eso significa que cuando la $M=2q$ sólo necesitamos $b_q=0$ a garantizar que el promedio de la suma de las borran los números es un número entero.

Finalmente vemos que para $M\geq 1$ siempre se puede utilizar el mismo razonamiento para $M=1$ para el mínimo... quite $1$ y el promedio de la quita de los números va a ser $\frac{1}{1}=1$ que es un número entero.

Ya hemos cubierto todos los casos para $M$, hemos terminado.

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Ejemplos: Para $M=12345$: $$ 1 + 2 + \cdots + 12345 = 76205685 \text{ y } \frac{76205685}{12345}=6173 $$ Para $M=124=2\cdot 62$: $$ 1 + 2 + \cdots + 124 - 62 = 7750 - 62 = 7688 \text{ y } \frac{7688}{124}=62 $$