¿Cómo se calcula la envoltura de la trayectoria de un doble péndulo?

Question

Considere un péndulo doble :

Antecedentes

Para los ángulos $ \varphi_i $ y el momento $p_i$ tenemos (con igual longitud $l=1$ las masas $m=1$ y la constante gravitacional $g=1$ ):

$ \dot { \varphi_1 } = 6 \frac {2p_1 - 3p_2 \cos ( \varphi_1 - \varphi_2 )}{16 - 9 \cos ^2( \varphi_1 - \varphi_2 )}$

$ \dot { \varphi_2 } = 6 \frac {8p_2 - 3p_1 \cos ( \varphi_1 - \varphi_2 )}{16 - 9 \cos ^2( \varphi_1 - \varphi_2 )}$

$ \dot {p_1} = - \frac {1}{2} \big ( \dot { \varphi_1 } \dot { \varphi_2 } \sin ( \varphi_1 - \varphi_2 ) +3 \sin ( \varphi_1 ) \big )$

$ \dot {p_2} = - \frac {1}{2} \big ( - \dot { \varphi_1 } \dot { \varphi_2 } \sin ( \varphi_1 - \varphi_2 ) + \sin ( \varphi_1 ) \big )$

Para ver las relaciones más claramente:

$ \dot { \varphi_1 } = B(2p_1 + Ap_2)$

$ \dot { \varphi_2 } = B(8p_2 + Ap_1)$

$ \dot {p_1} = -C + 3D$

$ \dot {p_2} = +C + D $

con

$A = -3 \cos ( \varphi_1 - \varphi_2 )$

$B = 6/(16 - A^2)$

$C = \dot { \varphi_1 } \dot { \varphi_2 } \sin ( \varphi_1 - \varphi_2 )/2$

$D = - \sin ( \varphi_1 )/2$

Observaciones

Con ángulos iniciales $ \varphi_1 ^0 = \varphi_2 ^0 = 0$ y diferentes combinaciones de pequeños valores para $p_1^0$ , $p_2^0$ se puede observar una serie de patrones intrincados al trazar la tractora de la punta del péndulo:

• $p_1^0 = 1$ , $p_2^0 = 1$

• $p_1^0 = 1, p_2^0 = -1$

• $p_1^0 = 0$ , $p_2^0 = 1$

• $p_1^0 = 0$ , $p_2^0 = 2$

• $p_1^0 = 0$ , $p_2^0 = 3$

• $p_1^0 = 0$ , $p_2^0 = 3.7$

• $p_1^0 = 0$ , $p_2^0 = 4$

Lo que estos patrones tienen en común: La punta del péndulo dibuja una curva que más o menos lentamente "llena" un área encerrada por una sobre exhibiendo patrones aparentemente regulares que inevitablemente se desvanecen.

Preguntas

1. ¿Puede el sobre darse en forma cerrada, dependiendo sólo de los dos parámetros $p_1^0, p_2^0$ ?

2. ¿Pueden las posiciones de los dos cúspides que se puede ver claramente por $p_1=0$ , $p_2=2,3$ se dará en forma cerrada, dependiendo sólo de los dos parámetros $p_1^0, p_2^0$ ?

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[El sobre para $p_1^0=0, p_2^0 = 1,2, \dots $ parece una canoa cuya proa y popa se doblan una a la otra, eventualmente amalgamándose. ¿Alguien puede adivinar cuál es la fórmula explícita de esta forma?]

Answer 1

Esta no es una respuesta completa o rigurosa, pero debería apuntarte en la dirección correcta.

El doble péndulo es un sistema Hamiltoniano; la energía se conserva. Los puntos más extremos de la trayectoria ocurren cuando ambas piernas están paradas ( $p_1=p_2=0$ ) ya que toda la energía es posicional. Los puntos en los que esto es así pueden ser calculados como curvas parametrizadas de la siguiente manera.

1. El parámetro de su curva es el ángulo de excitación del primer péndulo ( $φ_1$ ).
2. Para cada uno $φ_1$ puedes calcular los dos ángulos del péndulo interior ( $φ_2$ ) de tal manera que la energía potencial del sistema corresponde a su energía total.
3. Desde ambos ángulos ( $φ_1$ y $φ_2$ ) obtener la posición del extremo de los péndulos internos como el punto de su curva.

Yo conjeturaría que la más exterior de las dos curvas es la envolvente en caso de una dinámica caótica como la de su último ejemplo. Si el doble péndulo es ergódico lo que sigue, ya que todos los puntos de la envoltura propuesta tienen la misma energía y por lo tanto tienen que ser visitados.