¿Es cierto que para todo polinomio $P(x)$ existe un número entero $n$ para que $Q(x)=P(x)+n$ es irreducible sobre los números racionales? Si no es así, ¿cuáles son las condiciones de $P(x)$ para que exista un número entero $n$ para que $Q(x)=P(x)+n$ es irreducible? Si $n$ no es un número entero sino un número racional, ¿seguirá siendo correcta la afirmación?
Intenté utilizar el criterio de Eisenstein, pero no pude progresar con él.
Podemos elegir que el término constante sea coprimo a todos los demás coeficientes, por lo que el polinomio es primitivo. Entonces, por el lema de Gauss sabemos que la irreducibilidad en $\mathbb{Q}$ es equivalente a la irreducibilidad en $\mathbb{Z}$ .
Supongamos ahora que $f(x)$ es reducible en $\mathbb{Q}$ . Entonces, es reducible en $\mathbb{Z}$ Así que $f(x) = g(x) h(x)$ para algunos polinomios no constantes $g, h \in \mathbb{Z}[x]$ .
Si el término constante de $f$ es primo, entonces como $f(0)=g(0) h(0)$ tenemos que el término constante de $g$ o el término constante de $h$ est $\pm$ el término constante de $f$ .
Entonces, si elegimos el término constante de $f$ sea extremadamente grande, entonces $g$ o $h$ también debe tener ese gran término constante. Por lo tanto, uno de los otros coeficientes de $f$ también debe ser extremadamente grande.
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Utilizar el hecho de que $Q(x)$ es irreducible si $Q(x^{-1})$ es así, entonces su afirmación le dice que es posible añadir cualquier término de la forma $nx^d$ donde $d$ es el grado de $Q$ . A continuación, utilice Eisenstein después de multar para un primo que no divide $a_0$ y la suma de $x^n$
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@ALG Eso nos da irreducible $pP(x)+n$ . ¿Podemos encontrar un primer $q\gg p$ tal que $pP(x)+n$ sigue siendo irreducible en $\Bbb Z/q\Bbb Z[X]$ ? Si es así, podemos dividir el $p$ de nuevo...