¿Es falso alguno de los 5 postulados de Euclides en el espaciotiempo de Minkowski?

Question

A menudo oigo que el espaciotiempo de Minkowski no es euclidiano. La geometría euclidiana se caracteriza porque los cinco postulados de Euclides son verdaderos. ¿Cuáles de esos postulados son falsos en el espaciotiempo de Minkowski (si es que hay alguno), y qué consecuencias físicas observamos de ellos?

Answer 1

La fórmula de la distancia pitagórica no es válida para las formas arbitrarias, gracias al signo negativo de la métrica. También es bastante fácil decir que los ascensores obedecen a las reglas de adición de ángulos hiperbólicos y no a las circulares. Dado que el postulado sobre la congruencia de los ángulos rectos es necesario para demostrar la relación de distancia pitagórica, y que las reglas de adición de ángulos para los intervalos temporales son diferentes a las de los intervalos espaciales, se podría concluir que el postulado "todos los ángulos rectos son congruentes" no se cumple: el "ángulo recto" entre dos direcciones nulas es diferente al que existe entre dos direcciones espaciales.

Answer 2

La geometría euclidiana se caracteriza porque los cinco postulados de Euclides son ciertos

Esto es cierto, pero lo que caracteriza a la geometría no euclidiana son las desviaciones del postulado de las paralelas, concretamente.

espacio de Minkowski con el plano La métrica de Minkowski tiene submanifolds con geometría no euclidiana ( hiperbólica geometría). Esto significa que la postulado paralelo se viola: básicamente, si el postulado de las paralelas se cumple para una geometría dada, entonces la suma de los ángulos de un triángulo es $\pi$ radianes ya que la separación entre líneas paralelas es constante. La geometría es no euclidiana cuando la suma de los ángulos de un triángulo es mayor (esférica) o menor (hiperbólica) $\pi$ radianes, ya que la separación entre líneas paralelas aumenta o disminuye, respectivamente.

EDIT: Después de los comentarios, he intentado aclarar que el quinto postulado se viola en los submanifolds de una variedad lorentziana, mientras que todo el espaciotiempo de Minkowski es plano (y afín, es decir, el paralelismo de Euclides/Playfair se mantiene en la variedad de Lorentz).

Answer 3

El espaciotiempo de Minkowski viola el Primer Postulado de Euclides, cuando se expresa en una forma como el postulado de Playfair. Físicamente, esta violación nos dice algo sobre la estructura causal en el espaciotiempo.

El primer postulado puede expresarse como la versión "dual" del quinto postulado:
"Dado un punto, y una línea que no pasa por ese punto, no existe ningún punto de esa línea que no pueda ser unido (por una línea "ordinaria") al punto dado".

Así, para la relatividad especial, lo escribo así:
"Dado un evento, y una línea del mundo que no experimenta ese evento, existen infinitos eventos en esa línea del mundo que no están "relacionados con el tiempo" con el evento dado".

Para la relatividad galileana,
"Dado un evento, y una línea del mundo que no experimenta ese evento, existe un evento en esa línea del mundo que no está "relacionado con el tiempo" con el evento dado".

(Creo que el Postulado Paralelo (expresado adecuadamente, por ejemplo, por Playfair) está bien para los espacios-tiempo galileanos y de Minkowski. Creo que es lo que nos permite dibujar líneas paralelas... como los extremos de una vara de medir en un diagrama del espaciotiempo).

actualizar:
Este punto de vista es el que interpreté físicamente de
"Una simple geometría no euclidiana y su base física : una exposición elemental de la geometría galileana y del principio galileano de la relatividad", de I.M. Yaglom
https://archive.org/details/ASimpleNon-euclideanGeometryAndItsPhysicalBasis/page/n237 .
Véanse las figuras 188a-c de la página 220, que he insertado a continuación.

(De Yaglom, p220)
De acuerdo con el requisito de congruencia de dos líneas cualesquiera en el plano, es natural definir el "plano minkowskiano" como los puntos de el plano (ordinario) y las líneas de un tipo -digamos, el primero. A este respecto En este sentido, observamos que en la geometría euclidiana todo punto de una recta a puede puede ser unido por una línea a un punto A que no está en a (Fig. 188a); en la geometría galileana cada línea a contiene un único punto, "paralelo" a A, que no puede ser que no puede ser unido por una línea (ordinaria) a A (Fig. 188b); en la geometría minkowskiana hay infinitos puntos en una línea a del primer tipo que no pueden unirse a A por medio de líneas del primer tipo (Fig. 188c). Por otra parte Por otra parte, las tres geometrías comparten la propiedad de que a través de cualquier punto A no en a pasa una única línea que no interseca a (una única línea paralela a a).

Answer 4

Esto es de Schutz's Primer curso de relatividad general (segunda edición, página 117):