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Eliminar puentes para hacer imposible encontrar un camino.

He aquí una pregunta relacionada con la teoría de grafos que se pidió en el Internacional de Canguro Matemáticas Concurso de 2017. Soy un estudiante universitario y tiene un muy inferior a la de los conocimientos de la teoría de grafos. La pregunta dice así:

Tenemos $10$ islas que han sido conectados por $15$ puentes.

¿Cuál es el menor número de puentes que puedan ser eliminadas de manera que se hace imposible obtener de $A$ a $B$ por un puente?

Respuesta: La respuesta que se ha dado en la clave es $3$, pero no puedo ver cómo podría ser.

Lo que yo hice:

Primero de todo he trasladado el problema a la gráfica de términos.

Tenemos $10$ vértices conectados por $15$ bordes.

¿Cuál es el menor número posible de aristas que cuando se retira a hacer lo imposible para encontrar un camino de $A$ a $B$?

Así que he pensado que podemos hacer esto 'aislar' $A$ o $B$. Esto se puede hacer mediante la eliminación de todas las aristas correspondientes a $A$ o $B$. El número de aristas correspondientes a $A$ es $4$ , mientras que aquellos con $B$ se $5$. Por lo que el número más pequeño que puede ser la respuesta es $4$. Entonces, ¿qué está mal con este método? ¿Cómo puede ser la respuesta, $3$, se llega?

Gracias por la atención.

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Especially Lime Puntos 51

MathFun123 la respuesta de la muestra que es posible eliminar tres de los bordes de esta manera, pero no que tres es el mínimo.

A ver que se puede hacer con menos de tres, considere lo siguiente. enter image description here

Hay tres completamente independiente caminos de a a B que se muestra. Con el fin de cortar B de A, usted necesita para eliminar al menos un borde rojo para destruir el camino rojo, y del mismo modo al menos un borde azul y al menos un borde verde. Así al menos se necesitan tres.

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Unbeliever Puntos 678

introduzca la descripción de la imagen aquí

Al eliminar las líneas rojas, se han aislado $A$ y $B$ ; en otras palabras: no es posible una ruta desde $A$ a $B$ .

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LordFarquaad Puntos 121

"Así que he pensado que podemos hacer esto por "aislar" a o B"

He intentado lo mismo en primer lugar. Como un enfoque general para este tipo de problemas, sin embargo, usted debe tratar de confirmar que su supone que los métodos son en realidad los más eficientes. Aislar a o B es un buen punto de partida, sin embargo, como las otras respuestas han demostrado que no se trata de una solución completa.

"Entonces, ¿qué está mal con este método?"

La razón por la que su método no es el que hizo una suposición: que cualquiera de las dos rutas de acceso deben converger sólo en la isla de B. Se lo que es verdadero, entonces aislar a o B (según tenía menos de novias) sería el trabajo; si el número de caminos que sólo podría aumentar hasta converger en B, entonces tendría que tener la menor cantidad de puentes (y viceversa).

Sin embargo, sabemos que esto no es cierto, y en este ejemplo, se hace relevante con la parte superior de las dos rutas de acceso derivadas de la isla; que convergen en prácticamente la siguiente isla. Esto nos muestra que se puede quitar uno menos puente esperando hasta que convergen en esa isla que mediante el aislamiento de Una forma inmediata.

"¿Cómo puede ser la respuesta, 3, ser alcanzado?"

Un enfoque más eficaz sería todavía para comenzar donde empezó: mediante el aislamiento de A. Que al menos 4 de los puentes que hay que eliminar. A partir de ese punto, sin embargo, usted tiene que viajar cada ruta y ver si en alguna isla el número de rutas a B disminuye o aumenta. Que le ayudará a escoger el más eficiente del puente para eliminar por cualquier camino.

Por ejemplo, permite seguir la parte inferior-la mayoría de la ruta de A. Después de la primera isla, todavía hay sólo un camino a la B. Después de la segunda isla, aunque, este se divide en dos caminos a B. Ahora que los dos puentes que tienen que lidiar con en lugar de uno, así que puede eliminar de forma segura el primer puente en este camino. Lo mismo se aplica a la segunda parte-la mayoría de la ruta.

Como para la parte superior dos caminos, podemos ver la segunda isla por la parte superior a la mayoría de la ruta de acceso es la misma que la primera isla para el segundo superior-la mayoría de la ruta (que yo realmente deseo que la etiqueta de cada isla). En lugar de dividir en dos caminos, en esta isla dos caminos se funden en uno. Esto nos permite eliminar tanto de la parte superior de la mayoría de las rutas por la eliminación de un puente, que tiene nuestra total de puentes para eliminar hasta 3.

En este ejemplo, 3 es lo mejor que se puede conseguir. Sin embargo, también podemos aplicar este enfoque a cualquier gráfica y lograr el mejor resultado (debe tenerse en cuenta que sólo porque el camino se divide en dos, no debería ser inmediatamente expulsado. Todavía hay una oportunidad tanto de los caminos van a converger en otro, que acaba de suceder no en este ejemplo).

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Tony Morel Puntos 11

Yo la etiqueta de los vértices de esta manera : yo comienzo a las $A=V_1$, a continuación, vaya alrededor de la gráfica de las agujas del reloj (de modo que $B=V_6$). El vértice en el centro de la gráfica es $V_{10}$. A continuación, puede quitar los bordes $V_3V_4$, $V_1V_{10}$ e $V_9V_1$. $A$ e $B$ no están conectados más.

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user1982779 Puntos 1

Un riguroso pero overengeneered respuesta sería la siguiente: Consideremos el grafo de flujo de red con la unidad de capacidad. A continuación, después de encontrar exactamente tres caminos en el resto de la red de la meta se vuelve inalcanzable, de modo que por el de Ford-Fulkerson teorema de la mínima corte tiene tres bordes, que se pueden encontrar fácilmente encontrado en la mencionada caminos, ya que sólo se conectan los vértices alcanzables desde la fuente en la que resulta resto de la red con inaccesible. Ahora si es posible quitar menos bordes para hacer Una inalcanzable de B, que estaría en contradicción con la definición de un mínimo de corte, por lo tanto hemos encontrado exactamente lo que se les pide de nosotros.

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