Si $2^n+1$ es primo, ¿por qué debe $n$ sea una potencia de $2$ ?

Question

Un pajarito me dijo que si $2^n+1$ es primo, entonces $n$ es una potencia de $2$ . Tiendo a no confiar en los pájaros que hablan, así que estoy tratando de verificar esa afirmación de forma independiente.

Supongamos que $n$ no es un poder de $2$ . Entonces $n = a \cdot 2^m$ para algunos $a$ no un poder de $2$ y algún número entero $m$ . Esto da $2^n+1 = 2^{a \cdot 2^m}+1$ . Ahora sospecho que hay una forma de factorizar eso, pero no veo cómo. ¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Sugerencia . Para cualquier número natural impar $a$ el polinomio $x+1$ divide $x^a+1$ de manera uniforme.

En particular, tenemos $$ \frac{x^a+1}{x+1}=\frac{(-x)^a-1}{(-x)-1}=1-x+x^2-\cdots+ (-x)^{a-1}$$ por el fórmula de la suma geométrica . En este caso, especialícese en $x=2^{2^{\large m}}$ y tenemos un divisor no trivial. (También, $x^a+1\equiv(-1)^a+1\equiv-1+1\equiv0\mod x+1$ dentro de $\Bbb Z[ x]$ es bastante hábil).