¿Cómo encontrar una forma cuya derivada exterior sea una forma diferencial exacta?

Question

Creo que me ayudará ver ejemplos. Así que, en otras palabras, digamos que tenemos una forma diferencial exacta:

$$\alpha = (yz-z)dx + (xz+z)dy + (xy-x+y)dz$$

¿Cómo puedo encontrar una forma diferencial $\omega$ tal que la derivada exterior de $\omega$ es $\alpha$ ? ¿Es sólo la integración? Y si es así, ¿cómo se vería? Todavía no entiendo bien la integración de formas diferenciales.

¿Y es un proceso diferente o más difícil si tenemos una forma 2 exacta?

Por ejemplo, digamos que tenemos la forma 2:

$$\beta = 2xy^2 dxdy +z dydz$$

¡Muchas gracias!

Answer 1

Para el segundo ejemplo, si conoce las reglas básicas de $d$ se puede adivinar una respuesta porque no hay mezcla de variables como en la primera. Si se toma $d(x^2y^2\,dy)$ , obtendrá el primer término y si toma $d(yz\,dz)$ , obtendrá el segundo. (Hay, por supuesto, otras posibilidades).

Para el primer ejemplo, este es justo el procedimiento que deberías haber aprendido en el cálculo multivariable para encontrar la función potencial de un campo vectorial conservativo. Quieres una función $f(x,y,z)$ con \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} &= yz-z \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= xz+z \\ \frac{\partial f}{\partial z} &= xy-x+y \end{align*} Se integra la primera con respecto a $x$ para encontrar $f(x,y,z) = xyz - xz + g(y,z)$ para alguna función (hasta ahora) desconocida $g$ . Entonces el segundo te dice que $\dfrac{\partial g}{\partial y} = z$ Así que $g(y,z) = yz + h(z)$ para algún desconocido $h$ . El tercero nos dice ahora que $h'(z) = 0$ Así que $h(z)=c$ para alguna constante. Así que tenemos $f(x,y,z) = xyz-xz+yz+c$ . Compruebe tomando $df$ .