¿El grupo conmutador de $S_n$ igual $A_n$ ¿en general?

Question

¿Y cómo se deduce esto?

$[S_n, S_n]$ consiste en permutaciones pares por lo que es obvio que $[S_n, S_n] \leq A_n$ , pero es $[S_n, S_n] = A_n$ ¿también es cierto? Si es así, ¿cómo deducirlo? Si no es así, ¿cómo demostramos que es cierto para casos particulares como $S_6$ ? Sólo puedo demostrar que es un subgrupo.

Answer 1

Para demostrar que $A_n [S_n,S_n]$ Sólo tienes que escribir cada $3$ -como conmutador en $S_n$ , porque el $3$ -generan ciclos $A_n$ , si $n \geq 3$ (si $n \leq 2$ entonces esto es trivial).

Esto es cierto porque $(a \; b \; c) = (a\; c\; b)^2=(a\; c)(c\; b)(a\; c)(c\; b)$ .