Regla de Leibniz; Solución de ecuaciones diferenciales

Question

¿Me podrias ayudar con una pregunta? Me han pegado en el ii)

Definir la función

$$I(x):=\frac{1}{\pi} \int^\pi_0 \cos(x\sin\theta) d\theta$$

i) mediante la aplicación de la regla de Leibniz (o lo contrario) calcular $I'$ y $I''$.

II) por lo tanto, determinar los valores cero de $k$ que $I$ será una solución a la ecuación diferencial

$$k^2x^2I''+xI'+x^2I=0$$

III) Anote los valores de $I(0)$ y $I'(0)$.

Hasta ahora lo que tengo es $$I'(x)=\frac{1}{\pi} \int^\pi_0 -\sin\theta \sin(x\sin\theta) d\theta$ $ $$I''(x)=\frac{1}{\pi}\int^\pi_0 -\sin^2\theta \cos(x\sin\theta) d\theta$ $

Ninguna idea de dónde ir a partir de ahí: S

Answer 1

Sólo tienes que integrar $I^{\prime}(x)$ por las partes para llegar allí. $$\begin{align}I^{\prime}(x)&=\frac1{\pi}\int_0^{\pi}\left(\frac d{d\theta}\cos\theta\right)\sin(x\sin\theta)d\theta\ &=\frac1{\pi}\left[(\cos\theta)\sin(x\sin\theta)\right]_0^{\pi}-\frac1{\pi}\int_0^{\pi}\cos\theta\cos(x\sin\theta)\cdot x\cos\theta\,d\theta\ &=-\frac x{\pi}\int_0^{\pi}\cos^2\theta\cos(x\sin\theta)d\theta\end {Alinee el} $$ y ahora eso es todo: %#% $ #% por lo que queremos $$k^2x^2I^{\prime\prime}+xI^{\prime}+x^2I=\frac{x^2}{\pi}\int_0^{\pi}\left[-k^2\sin^2\theta-\cos^2\theta+1\right]\cos(x\sin\theta)d\theta=0$$ así $$-k^2\sin^2\theta-\cos^2\theta+1=(1-k^2)\sin^2\theta=0$. La última parte es sencilla $k=\pm1$ $ $$I(0)=\frac1{\pi}\int_0^{\pi}1\cdot d\theta=1$ $