¿Qué ocurre con este intento de averiguar la probabilidad de dibujar una mano de 5 cartas de póquer con al menos un par?

Question

¿Cuál es la probabilidad de que una 5 mano de póker de tarjeta tiene al menos un par? Tenga en cuenta que este es el mismo: la probabilidad de que haya exactamente un par + probabilidad de que haya exactamente dos pares + probabilidad de que exactamente 3 de una clase + probabilidad de exaclty 4 de una clase.

Vamos a estudiar una reducción de ejemplo para ayudarnos a averiguar cómo abordar el problema. Imagino que hay 3 bolas numeradas del 1 al 3, de color rojo, y el 3 del mismo modo bolas numeradas de color negro. ¿Cuál es la probabilidad de escoger 3 bolas de los 6 que al menos dos de las bolas tienen el mismo valor de número. Hay ${6 \choose 3} = 20$ maneras de escoger 3 bolas de 6: \begin{align*} &R1, R2, R3 \quad B1, B2, B3 \\ &\color{blue}{R1, R2, B1} \quad \color{blue}{R1, R2, B2} \quad R1, R2, B3 \\ &\color{blue}{R1, R3, B1} \quad R1, R3, B2 \quad \color{blue}{R1, R3, B3} \\ &R2, R3, B1 \quad \color{blue}{R2, R3, B2} \quad \color{blue}{R2, R3, B3} \\ &\color{blue}{R1, B1, B2} \quad R1, B2, B3 \quad \color{blue}{R1, B1, B3} \\ &\color{blue}{R2, B1, B2} \quad \color{blue}{R2, B2, B3} \quad R2, B1, B3 \\ &R3, B1, B2 \quad \color{blue}{R3, B2, B3} \quad \color{blue}{R3, B1, B3} \end{align*}

Vemos a través de la fuerza bruta que la probabilidad de escoger 3 bolas donde al menos dos bolas tengan el mismo valor de número de es $12/20 = 3/5$. Vamos a tratar de llegar a esta respuesta de cómputo. Ahora, hay 6 maneras de las cuales podemos hacer la selección inicial de una pelota. Sólo hay una opción para la segunda pelota, ya que se debe tener el mismo valor de número de la primera. Hay 4 bolas de izquierda, ahora, y a partir de ella podemos elegir uno, así que hay 4 opciones. Por lo tanto, en total, $6 \times 1 \times 4$ maneras de hacer esta elección, sino $6 \times 4 = 24 > 20$, lo $24/20 > 1$. Uno podría imaginar que lo que está mal es que estamos haciendo sutiles hipótesis sobre el orden en el que las bolas son recogidos. Así que, digamos que divide el numerador por el número de maneras en que podemos organizar 3 bolas, $3! = 6$; luego llegamos $4/20 = 1/5$, que no es la respuesta correcta.

Vamos a tratar de deshacerse de la orden por completo a la hora de construir nuestra solución. Hay 3 valores de número desde el que podemos elegir un par de pelotas. Ahora hay 4 bolas de izquierda, y de ellos podemos elegir cualquier pelota. Por lo tanto, tenemos $3 \times 4 = 12$, y, de hecho,$12/20 = 3/5$.

Apliquemos este método a otro caso: deshacerse de las bolas $R3$$B3$, por lo que nuestro escenario sólo tiene 4 bolas. ¿Cuál es la probabilidad de elegir dos bolas con el mismo valor? Bueno, hay 2 número de valores a partir de la cual podemos par de pelotas, pero ${4 \choose 2} = 6$ de las maneras que podemos escoger un par de pelotas en general, por lo que la probabilidad de elegir dos bolas con el mismo valor debería ser $2/6 = 1/3$. Comprobaremos que este es el caso del uso de la fuerza bruta: \begin{align*} &R1, R2 \quad B1, B2 \\ &\color{blue}{R1, B1} \quad R1, B2 \\ &R2, B1 \quad \color{blue}{R2, B2} \end{align*} Bueno, funciona aquí también. Otro caso simple es de 3 colores (por ejemplo, rojo, negro y blanco), pero sólo 2 valores---¿cuál es la probabilidad de escoger un par de pelotas con el mismo valor de número? En este caso, hay 2 opciones para el valor a partir del cual podemos elegir un par de pelotas, pero ${6 \choose 2}$ maneras de escoger un par de pelotas en general. Así que la respuesta debe ser $2/15$? Comprobaremos el uso de la fuerza bruta: \begin{align*} &R1, R2 \quad B1, B2 \quad W1, W2 \\ &\color{blue}{R1, B1} \quad R1, B2 \\ &\color{blue}{R1, W1} \quad R1, W2 \\ &R2, B1 \quad \color{blue}{R2, B2} \\ &R2, W1 \quad \color{blue}{R2, W2} \\ &\color{blue}{B1, W1} \quad B2, W1 \\ &B2, W1 \quad \color{blue}{B2, W2} \end{align*} La respuesta correcta es en realidad $6/15 = 2/5$, y parece que el método de recuento que hemos desarrollado hasta el momento no tiene en cuenta más de 2 colores. Hay 3 formas en que podemos elegir 2 colores de 3. Hay 2 número de valores. Por lo tanto, hay $3 \times 2 = 6$ maneras de escoger un par de pelotas con el mismo valor de número. Por lo tanto, la probabilidad de escoger 2 bolas con el mismo valor de número de es $6/15$.

Apliquemos este método a continuación para el problema original: hay 4 suites, de la que podemos elegir el 2 de. Hay 13 número de valores entre los que podemos elegir un par de cartas. Ahora hay 50 tarjetas de izquierda, por lo que hay ${50 \choose 3}$ maneras de escoger el resto de las cartas. Así que la probabilidad debe ser: $$\frac{{50 \choose 3} \times {13 \choose 1} \times {4 \choose 2}}{{52 \choose 5}} = 0.59$$

Podemos ya no es la fuerza bruta para verificar, pero podemos utilizar el trabajo de otros para que nos ayuden. Se ha determinado que la probabilidad de sacar una mano sin características interesantes (es decir, sólo una carta más alta) es de aproximadamente el $0.5$. Dado que las probabilidades deben sumar a $1$, no hay manera de que la probabilidad de sacar al menos un par es mayor que aproximadamente el $0.5$, por lo que nuestra respuesta anterior es incorrecto.

¿Cuál es el método desarrollado para ayudar a contar en tales problemas de falta?

Answer 1

Puede utilizar la regla del complemento.

$P$(at least one pair) $=$ $1-P$%(nopairs) $= 1-(\frac{52}{52} \cdot \frac{48}{51} \cdot \frac{44}{50} \cdot \frac{40}{49} \cdot \frac{36}{48}) = .493$

Donde $\frac{52}{52}$ viene desde la selección de cualquiera de las tarjetas de $52$, pero entonces no puede ser otro de ese mismo rango, por lo que hay sólo $48$ opciones a la izquierda de las tarjetas de $51$ restante, etcetera.

Equivalente, tenemos,

$1-P$(no pairs) $= 1-\frac{\binom{13}{5} \binom{4}{1}^5}{52\choose{5}} = .493$

Ya que estamos seleccionando $5$ de las filas de #% de #% % para ser seleccionado (sin repeticiones), y $13$ de los trajes de $1$ de esa fila particular, $4$ veces.

Answer 2

A menos que me estoy perdiendo algo, en todos los ejemplos simplificados, agarrar dos bolas, pero luego saltó a la selección de cinco cartas. Supongamos que usted escoge cuatro bolas de (R1,R2,R3,R4,B1,B2,B3,B4). Hay cuatro pares diferentes que usted puede hacer. Habrá otras seis bolas de izquierda, de la que usted necesita para elegir a dos. Por tanto existen 4*(6C2) formas de obtención de los pares? No, debido a que este método de la doble cuenta de dos pares. Por ejemplo, R1,R2,B1,B2, será contado como R1,R2, más dos bolas, y será contado como B1,B2, además de dos más bolas. En el momento de añadir las probabilidades, usted tiene que asegurarse de que son mutuamente excluyentes.

La forma más sencilla de hacer esto es, en lugar de intentar encontrar la probabilidad de conseguir un par de, hallar la probabilidad de no obtener ningún par, y luego restar ese número uno. La probabilidad de que usted no tiene una pareja después de que has robado una tarjeta de 1 (no hay manera de conseguir un par de una tarjeta). La probabilidad de que la siguiente carta, no a hacer un par 48/51 (hay 51 cartas restantes, de los cuales 48 no coinciden con la tarjeta). La siguiente carta es 44/50, entonces 40/49, 36/48. Por lo que la probabilidad de conseguir un par 1-(48/51)(44/50)(40/49)(36/48). Otra manera de pensarlo es que son 13 los valores de las cartas, y usted tiene que tomar 5 valores diferentes, dando 13C5 posibilidades. Dentro de cada valor, hay 4 palos, por lo que hay (13C5)*4⁵ combinaciones. Así que la probabilidad de que ningún par es (13C5)*4⁵/51!