Espectro de la diferencia de dos proyecciones

Question

Que $p$ $q$ ser dos proyecciones en un $C^*$-álgebra. ¿Qué puede decir sobre el espectro de $p-q$, es decir, es $\sigma(p-q) \subset [-1,1]$?

El ejercicio es mostrar que $\lVert p-q \rVert \leq 1$.

Cualquier sugerencias son apreciadas.

Answer 1

Tienes, desde $0\leq q\leq I$ y $0\leq p\leq I$, $$-I\leq-q\leq p-q\leq-q\leq I. $$ por lo que, como usted ha mencionado, deduce que $\sigma(p-q)\subset[-1,1]$.

Tenga en cuenta también que el argumento no utiliza que $p,q$ son proyecciones, solo que son elementos positivos de la bola de la unidad.