Integrar la región delimitada por dos regiones. Usando coordenadas polares.

Question

Usando coordenadas polares integrar sobre la región delimitada por los dos círculos:

$$x^2+y^2=4$$

$$x^2+y^2=1$$

Evaluar la integral de $\int\int3x+8y^2 dx$

Entonces lo que hice fue dijo que $x^2+y^2=4$ y $x^2+y^2=1$

Que $1 \le r \le 2$. Y como hay una simetría en los cuatro cuadrantes

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$

que me dio $\int_0^\frac{\pi}{2}\int_1^2 3r^2\cos(\theta) +8r^3\sin^2(\theta) ~dr d\theta$

La respuesta que da en el libro es $30\pi$.

Me estoy poniendo $28 +30\pi$

Answer 1

Hay menos simetría que piensas por el $x$. Bueno, también hay simetría hay, pero es la simetría de la cancelación: la contribución de $x$ a la integral es $0$. Puede notar que, o integrar de $0$ $2\pi$ o integrar de $0$ $\pi$ y doble.

Tenga en cuenta que tenemos que reemplazar $dx\,dy$ $r\,dr\,d\theta$.