Límites directos e inversos

Question

Esta es probablemente una pregunta básica pero no he encontrado nada satisfactorio todavía.

Estoy tratando de entender la diferencia entre los límites inversos y directos, aparte de la definición formal. En mi mente, un límite inverso es como $ \mathbb {Z}_p$ y un límite directo es como el germen de las funciones en un punto de un colector. Tal vez no sea la mejor manera de pensar en ello, pero me lleva a creer que los límites inversos se sienten "grandes" y los límites directos se sienten "pequeños". Pero me he encontrado con cierta confusión al ver definiciones como

$$H^i(G, M) = \lim_ { \to } H^i(G/H, M^H)$$

cuando yo hubiera pensado que iría en la otra dirección. ¿Es sólo una cuestión de formalidad en función de la dirección de las flechas, como la llamada homología de los functores derivados de la izquierda y la cohomología de los functores derivados de la derecha? ¿O hay una distinción más profunda entre este tipo de objetos? Gracias.

Answer 1

Los límites directos no tienen por qué ser pequeños: cualquier conjunto es el límite directo de sus subconjuntos finitos bajo inclusión, por ejemplo. Un límite inverso de algunos conjuntos o grupos es siempre un subconjunto (subgrupo) de su producto, y a su vez un límite directo es un cociente de su unión disjunta (suma directa), si eso ayuda a la intuición. Yo diría que al final, sí, la diferencia es puramente formal: todo límite directo podría describirse como un límite inverso de un diagrama diferente, aunque esto suele ser muy artificial.