¿Es correcto este derivado de Frechet?

Question

Enunciado del problema:

Deje $u \in L^2[0, 1]$ y $$J(u) = \int_0^1 u(t) u(1-t)dt$$ Find $J'(u)$ and $J"(u)$.

Intento de solución:

Primera derivada

Hay una sugerencia de que la derivada se parece a esto: $$J(u + h) - J(u) = \langle J'(u), h\rangle + o(\|h\|)$$ realmente no entiendo por qué, ya que esta no es la definición de la Frechet derivados. Sin embargo:

$$ \begin{split} J(u + h) - J(u) &= \int_0^1\left(u\left(t\right) + h\left(t\right)\right)\left(u\left(1 - t\right) + h\left(1 - t\right)\right)dt - \int_0^1u\left(t\right)u\left(1 - t\right)dt \\ &=\int_0^1 h(t)(u(1 - t) + h(1 - t))dt + \int_0^1u(t) h(1 - t)dt \\ &= \int_0^1h(t) h(1 - t)dt + \int_0^1h(t)u(1 - t)dt + \int_0^1u(t)h(1 - t)dt \end{split} $$ Donde se puede demostrar que las dos últimas integrales son en realidad iguales. Que se traduce en:

$$J(u + h) - J(u) = \int_0^1 h(t) h(1 - t)dt + 2 \int_0^1 u(1 - t) h(t) dt$$

Si recordamos ahora la definición de producto escalar en $L^2[0, 1]$: $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t) g(t) dt$ entonces podemos reescribir nuestro resultado como:

$$J(u + h) - J(u) = \langle 2 u(1 - t), h(t)\rangle + \langle h(t), h(1 - t)\rangle$$

Ahora vamos a mostrar $\langle h(t), h(1 - t)\rangle = o(\|h\|)$: $$\lim_{h \to 0} \frac{|\langle h(t), h(1 - t)\rangle|}{\|h(t)\|} \le \lim_{h \to 0} \frac{\|h(t)\| \|h(1 - t)\|}{\|h(t)\|} = \lim_{h \to 0} \|h(1 - t)\| = 0$ $ , Donde la desigualdad es de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz desigualdad.

Segunda derivada

No hay indicios de este tiempo, pero aquí está la definición de la clase B es una matriz):

$$ J'(u + p) - J'(u) = Bp + o(\|p\|)$$

Como tengo entendido, $J''(u) = B$ en el punto p. Lo que me deja con:

$$J'(u + p) - J'(u) = 2(u(1 - t) + p(1 - t)) - 2 u(1 - t) = 2p(1 - t) = o(\|p\|)$$ Which means $J"(u) = B = 0$.

Mi respuesta para el problema:

• $J'(u) = 2 u(1 - t)$
• $J''(u) = 0$

Mis preguntas:

• Es mi respuesta correcta, ¿hay algún error?
• ¿Por qué el primer indicio de este aspecto? No existen escalares productos en la definición de un Frechet derivados...

Answer 1

La primera derivada se ve bien, pero creo que la segunda es incorrecta. La primera derivada es la linealmapa $$ DJ(u) \colon h \mapsto 2 \int_0^1 u(t)h(1-t)\, dt. $$ Para encontrar la segunda derivada, debe diferenciarse con respecto a $u$: si $k \in L^2([0,1])$, luego $$ D^2J(u)(h,k) = 2 \int_0^1 k(t)h(1-t)\, dt. $$ La segunda derivada es independiente del punto de $u$, pero está lejos de ser cero!!!

A mí me parece que usted no dominar la definición de Fréchet derivados, sin embargo. En particular, usted debe saber que no es una isometría entre el espacio de lineal continua funcionales en un espacio de Hilbert y el espacio de Hilbert sí mismo (teorema de Riesz), y esto permite considerar la primera derivada como un elemento de $L^2([0,1])$. Pero, más importante, usted debe estudiar la definición de la derivada segunda, que es más involucrados y más técnica: siempre puede ser considerada como un continuo bilineal mapa en la (Hilbert) de espacio, pero a menudo es inútil creer que es una matriz de (a menos que trabajes en un finito-dimensional).