Si $G$ es un grupo nilpotente (posiblemente infinito) generado por elementos de orden acotado, ¿se deduce que $G$ tiene exponente finito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La respuesta parece que sí, pero la única prueba que se me ocurre utiliza algunos resultados profundos. Según el teorema 2.4 de Primož Moravec, Schur multipliers and power endomorphisms of groups. J. Algebra 308 (2007), n.º 1, 12-25 (hay una versión que se puede descargar libremente), si un grupo localmente finito $G$ tiene un exponente $n$ entonces el exponente del multiplicador de Schur $M(G)$ está limitada por una función $f(n)$ de $n$ . La prueba de este resultado utiliza la solución positiva del problema de Burnside restringido.
Dado esto, el resultado de la pregunta es sencillo de demostrar por inducción en la clase de nilpotencia de $G$ . Es cierto para los grupos abelianos, y para los no abelianos $G$ Si $N$ es el último término no trivial de la serie central inferior de $G$ entonces $G/N$ tiene un exponente acotado por algún número $e$ por hipótesis inductiva y, dado que $N$ es un cociente de $M(G/N)$ , $N$ tiene como máximo el exponente $f(e)$ y por lo tanto $G$ tiene como máximo el exponente $ef(e)$ . (El hecho de que $G$ es localmente finito también se sigue por inducción).
Nótese que es un resultado estándar que los elementos de torsión de un grupo nilpotente forman un subgrupo, de lo que se deduce que $G$ es un grupo de torsión. En particular, si $G$ es finitamente generada nilpotente y generada por elementos de torsión, entonces es finita.
