He llegado a una bifurcación en el camino, y que me está enviando en wild goose caza. Esta pregunta viene de un examen final por Intermedio de Álgebra Abstracta curso que acaba de tomar esta Primavera pasada. Estoy re-trabajar las preguntas a las que existen dos tipos de problemas que requieren el uso de la correspondencia de Galois. El segundo todavía tengo que empezar, porque estoy tratando de terminar el aspecto final de la primera, y estoy casi terminado con esto, excepto estoy atascado entre uno de los dos modos de proceder (si, de hecho, estoy en lo cierto con respecto a mi trabajo a continuación).
Los detalles y el Trabajo Preliminar (es un Poco Áspero): Estamos trabajando en $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}\big(\sqrt{3+\sqrt{5}}\big)\subset\mathbb{R}$. Deje $\alpha=\sqrt{3+\sqrt{5}}\in\mathbb{R}$, el mínimo/polinomio irreducible sobre$\mathbb{Q}$$f(x)=x^{4}-6x^{2}+4=\text{irr}(\alpha,\mathbb{Q})\in\mathbb{Q}[x]$. Por eso, $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=\text{deg}(\alpha,\mathbb{Q})=\text{deg}\big(f(x)\big)=4$. Previamente había demostrado que $\sqrt{3-\sqrt{5}}\in\mathbb{Q}(\alpha)$, lo $\mathbb{Q}(\alpha)$ es una división de campo para el polinomio separable $f(x)\in\mathbb{Q}[x]$ (como las raíces de la $f(x)\in\mathbb{Q}[x]$, se mencionan a continuación, son todos simples [es decir, las raíces son distintas]). Por lo tanto, la extensión de $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\alpha)$ debe ser una extensión de Galois. Además, $\sigma\in\text{Gal}\big(\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}\big)$ está determinada únicamente por sus valores de $\sigma\big(\sqrt{3+\sqrt{5}}\big)\in\big\{\sqrt{3+\sqrt{5}},-\sqrt{3+\sqrt{5}},\sqrt{3-\sqrt{5}},-\sqrt{3-\sqrt{5}}\big\}$, por lo que el $\big|\text{Gal}\big(\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}\big)\big|=4$ desde los cuatro posibilidades debe ocurrir. La etiqueta de las raíces como tales: $\alpha=\alpha_{1}=\sqrt{3+\sqrt{5}}=-\alpha_{2}$, e $\alpha_{3}=\sqrt{3-\sqrt{5}}=-\alpha_{4}$. Ahora nos definen $\sigma,\tau\in\text{Gal}\big(\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}\big)$ seguido:
$\sigma(\alpha_{1})=\alpha_{2}$
$\sigma(\alpha_{2})=\sigma(-\alpha_{1})=-\alpha_{2}=\alpha_{1}$
$\sigma(\alpha_{3})=\sigma\bigg(\dfrac{\pm 2}{\alpha_{1}}\bigg)=\dfrac{\pm 2}{\alpha_{2}}=\alpha_{4}$; en caso de $\alpha_{1}\alpha_{3}=\pm 2=\sqrt{4}=\alpha_{2}\alpha_{4}$
$\sigma(\alpha_{4})=\alpha_{3}$.
Y:
$\tau(\alpha_{1})=\alpha_{3}$
$\tau(\alpha_{2})=\tau(-\alpha_{1})=-\alpha_{3}=\alpha_{4}$
$\tau(\alpha_{3})=\tau\bigg(\dfrac{\pm 2}{\alpha_{1}}\bigg)=\dfrac{\pm 2}{\alpha_{3}}=\alpha_{1}$
$\tau(\alpha_{4})=\alpha_{2}$.
Finalmente, lo anterior nos da que:
$\sigma\tau(\alpha_{1})=\alpha_{4}$
$\sigma\tau(\alpha_{2})=\alpha_{3}$
$\sigma\tau(\alpha_{3})=\alpha_{2}$
$\sigma\tau(\alpha_{4})=\alpha_{1}$;
mientras que el $\text{Gal}\big(\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}\big)=\big\{e,\sigma,\tau,\sigma\tau\big\}$. Mi problema reside con las asignaciones para $\sigma$ $\tau$ por encima. El grupo de Galois es isomorfo a un subgrupo de $S_{4}$. También, el grupo de Galois es de orden $4$, por lo que es isomorfo a la Klein $4$-grupo, $V_{4}$, o el grupo cíclico $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$; sin embargo, tenemos los mapas anteriores, dado que el grupo de Galois es isomorfo a $V_{4}$, y $\sigma\mapsto(1,2)(3,4)$, $\tau\mapsto(1,3)(2,4)$, $\sigma\tau\mapsto(1,4)(2,3)$ que son todos (incluso) de permutaciones en $S_{4}$. Como $f(x)\in\mathbb{Q}[x]$ es irreductible, la acción por la que el grupo de Galois en el set $\big\{\alpha_{1},\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\big\}$ es una acción transitiva, y por encima de los mapas justificar esta acción transitiva. El Klein $4$grupo de tres, adecuada subgrupos, por lo que el grupo de Galois también debe tener tres, adecuada subgrupos de ser $\langle\sigma\rangle$, $\langle\tau\rangle$, $\langle\sigma\tau\rangle\subset\text{Gal}\big(\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}\big)$.
Si estoy en lo correcto de arriba, a continuación, el Galois correspondencia da ese $\langle\sigma\rangle$ mapa a $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$, pero aquí está mi PRINCIPAL problema (de nuevo, si todo lo anterior es correcto - especialmente los automorfismos en el grupo de Galois definido anteriormente) - ¿cuáles son los campos fijos que corresponden a $\langle\tau\rangle$$\langle\sigma\tau\rangle$!? Sigo re-trabajar las cosas, y todavía no puedo llegar incluso a una conjetura, que requiere verificación, en lo que respecta a los campos fijos que $\langle\tau\rangle$ $\langle\sigma\tau\rangle$ mapa por el Galois de la correspondencia. Cualquier ayuda, sugerencias, recomendaciones, sugerencias, consejos, etc. será muy apreciada. En un intento, he intentado utilizar una base para $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}\big(\sqrt{3+\sqrt{5}}\big)$ $\mathbb{Q}$- espacio vectorial, y todavía me parece que no puede ver lo que queda fijo tomar cualquier $\beta\in\mathbb{Q}(\alpha)$ $\tau(\beta)$ permanecen fijos debemos tener ese $\tau(\beta)=\beta$, mientras que de $\beta=a_{0}+a_{1}\alpha_{1}+a_{2}\alpha_{1}^{2}+a_{3}\alpha_{1}^{3}$ para algunos $a_{i}\in\mathbb{Q}$, $i=0,1,2,3$, por ejemplo. Por otra parte, como la $\big|\text{Gal}\big(\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}\big)\big|=4$, la única otra posibilidad es que el $\text{Gal}\big(\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}\big)\cong\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, y hemos terminado en este caso (?).
Por último, estoy muy feliz de proporcionar detalles adicionales en el lado de trabajo, explicaciones, etc., en nada de lo que está por encima de ser necesario. La prueba le da a esta pregunta con varios sub-preguntas, y estoy perplejo en la última parte. Dicho esto, he tratado de aportar algo de un boceto de cómo llegué a la última parte de la pregunta (que es exactamente mi Pregunta indicado en el título). En general, gracias por su tiempo, y nada siempre me clara en este sentido es muy APRECIADO!
