En un dominio integral noetheriano, un ideal primo principal no puede tener ideales primos distintos de cero.

Question

Deje $R$ integrante de dominio y Noetherian. Deje $P \subset R$ ser distinto de cero el primer ideal. Probar que si $P$ es director, entonces no es el primer ideal $Q$ tal que $0 \subsetneq Q \subsetneq P$.

Yo no podía hacer mucho. Un Noetherian anillo puede ser definido como (1) un anillo en el que cada ideal es finitely generado o, equivalentemente, (2) un anillo que satisface el ascendente de la cadena de condición.

Desde $P$ es el principal y distinto de cero, a continuación,$P=\langle p \rangle$$p \in R \setminus \{0\}$. Supongamos que hay es $Q$ primer ideal tal que $0 \subsetneq Q \subsetneq P$. Usando la definición (1), tenemos $Q=\langle q_1,...,q_r\rangle$. Desde $Q \subset P$ $q_i=pp_i$ todos los $1\leq i \leq r$. Por hipótesis de $Q \neq P$, a partir de esto, y el hecho de que $Q$ es primo, se deduce $p_i \in Q$ todos los $i$.

Aquí tengo completamente atascado, agradecería sugerencias para terminar el problema.

Answer 1

A menos que me estoy perdiendo algo aquí, no es demasiado complicado. Voy a dejar como un buen ejercicio en el uso de definiciones que en un dominio noetheriano, cada distinto a cero primer ideal contiene un elemento irreducible. Por lo tanto existe $q\in Q$ irreducible. $q\in P$, Que $p\mid q$; ya es irreducible $q$ $p$ no es una unidad, $q$ es asociado de $p$, $(q)\subseteq Q \subseteq P = (p) = (q)$ y las contenciones son igualdades.

Answer 2

Asumir la hipótesis. Deje $q$ ser un elemento no nulo de a $Q$. Supongamos que existe un entero $k$ tal que $q$ no puede ser escrita como $p^{k+1}u$ para cualquier elemento $u$. Deje $n$ ser el menos entero. A continuación, $q$ puede ser escrito como $p^nu$ algunos $u$. Pero desde $p$ no está en $Q$, $u$ debe ser en $Q$ y en la forma $pu'$, una contradicción.

Por lo tanto llegamos a la conclusión de que para cualquier entero $k$, hay un elemento $u_k$ tal que $q = p^ku_k$. Considerar el ideal de $I$ generado por $u_k$ para cada entero $k$. Por el noetherian hipótesis, $I$ es generado por $u_1,...,u_n$ algunos $n$. Por lo tanto $u_{n+1} = a_1u_1+...+a_nu_n$ para los elementos $a_i$ y

$$q = p^{n+1}u_{n+1} = a_1p^{n+1} u_1 + \cdots + a_np^{n+1}u_n = qa_1p^n + \cdots + qa_np.$$

Por lo tanto $q(1-p(a_1p^{n-1}+\cdots+a_n)) = 0$. $R$ siendo una parte integral de dominio, esto implica que $1 = pA$ algún elemento $A$, por lo tanto $P$ no es un buen ideal. Una contradicción.