Si$S_n = 1+ 2 +3 + \cdots + n$, entonces demuestre que el último dígito de$S_n$ no es 2,4 7,9.

Question

Si$S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n,$, entonces pruebe que el último dígito de$S_n$ no puede ser 2, 4, 7 o 9 para cualquier número entero n.

Que he hecho:

* He determinado que se supone que se hace con inducción matemática.

* La fórmula para una suma finita es$\frac{1}{2}n(n+1)$.

* Esto significa que, como sabemos que$n(n+1)$ tiene un factor de dos, siempre debe terminar en 4 y 8.

* Sabiendo esto, podemos asumir que$n(n+1)\bmod 10 \neq 4$ o$n(n+1)\bmod 10 \neq 8$.

Answer 1

Tenga en cuenta que $1+2+3+4+5$ es divisible por $5$, y por la misma razón, $5k+1+5k+2+5k+3+5k+4+5k+5$ es divisible por $5$ para cualquier entero $k$.

Deje $5m$ ser el más grande de varios de $5$$\le n$. A continuación, $n=5m$ o $n=5m+1$ o $n=5m+2$ o $n=5m+3$ o $n=5m+4$.

La suma de los enteros de $1$ $5m$es divisible por $5$. Así que cuando nos suma de$1$$n$, el resto en la división por $5$ $0$ o $1$ o $1+2$, o el resto al $1+2+3$ se divide por $5$, o el resto al $1+2+3+4$ se divide por $5$. Así que las posibilidades son $0$, $1$, $3$, $1$, y $0$. En particular, el resto a no ser $2$ o $4$. Así que el último dígito no puede ser $2$, $7$, $4$, o $9$.

Answer 2

Insinuación

$n^2+n \in \{ 0, 2 \} \pmod 4$$n^2+n \in \{ 0, 1, 2 \} \pmod 5$

Por CRT tenemos solo$6$ de valores posibles módulo 20:

PS

Answer 3

Primero muestre que para$n^2$ el último dígito siempre será del conjunto$M=1,4,5,6,9,0$ (no sé cómo crear esos corchetes con su versión de TeX, \ left {parece que no funciona) .

Luego considere todos los casos para el último dígito de$n$ (el último dígito es un$1$, obtengo un$2$ como último dígito para$n(n+1)= n^2 + n$ y así sucesivamente). Si hace todo esto en$mod5$, solo tiene 5 casos fáciles de revisar y mostrar que$n^2 + n$$mod5 \notin (3,4)$.

Answer 4

He aquí cómo he contestado a esta pregunta:

A través de la inducción, que me mostró por primera vez que el S(4)=1 (no 2, 4, 7, 9). Luego me fui a mostrar S(k)--> S(k+1)

• Muestran que desde entonces (k+1)(k+2)/2 no puede terminar en 2, 4, 7, 9, entonces (k+1)(k+2) no puede terminar en 4 u 8.
• Mostrar que en cualquier momento que multiplicar 2 números, el último dígito de cada número es la única información necesaria para encontrar el último dígito del producto. (2x4=8 12x14=48, etc)
• Por lo tanto, el último dígito de la (k+1) y (k+2) no puede ser 1 y 4 o 8, o de 2 en 2 o 4. (1x4=4, 1x8=8, 2x2=4, 2 x 4=8)
• Y ya que (k+1) y (k+2) tiene una diferencia de 1, entonces el ya mencionado combinaciones nunca puede ser conocido.