Encuentra$ n \in \mathbb{Z} $ tal que$ \frac{8^n + n}{2^n + n} \in \mathbb{Z}? $

Question

Pregunta: Encuentre$ n \in \mathbb{Z} $ tal que$ \frac{8^n + n}{2^n + n} \in \mathbb{Z} $.

Esto es lo que tengo hasta ahora. Cualquier consejo sería apreciado.

Claramente$ n \geq 0 $ ya que de lo contrario$ 8^n + n < 2^n + n $. Utilizo Wolfram para probar varios valores de$ n $ y los que funcionan parecen ser solo$ 0, 1, 2, 4, 6 $. Es evidente que$ n = 0 $ y$ n = 1 $ son fáciles de verificar, por lo que solo debemos considerar$ n \geq 2 $. Supongamos que$ \frac{8^n + n}{2^n + n} = k \in \mathbb{Z} $, luego$ (k - 1)n = 2^n(4^n - k) $. Si$ k $ es par, entonces$ k - 1 $ es impar, entonces$ n $ debe ser parejo, pero entonces$ n \not \mid 2^n $ desde$ n < 2^n $. Así que$ k $ es impar. En este punto me quedé atascado.

Answer 1

Usando la división larga, podemos escribir:

PS

Cuando$$\frac{8^n+n}{2^n+n} = 4^n - 2^nn + n^2 - \frac{n^3-n}{2^n+n}$, esa última fracción no puede ser un entero porque el denominador se vuelve más grande que el numerador. Por lo tanto, solo necesita verificar los valores de$n\ge 10$, lo que parece que ha hecho.