Encuentra$n \in \mathbb{Z}$ tal que$\frac{8^n + n}{2^n + n} \in \mathbb{Z}?$

Question

Pregunta: Encuentre$n \in \mathbb{Z}$ tal que$\frac{8^n + n}{2^n + n} \in \mathbb{Z}$.

Esto es lo que tengo hasta ahora. Cualquier consejo sería apreciado.

Claramente$n \geq 0$ ya que de lo contrario$8^n + n < 2^n + n$. Utilizo Wolfram para probar varios valores de$n$ y los que funcionan parecen ser solo$0, 1, 2, 4, 6$. Es evidente que$n = 0$ y$n = 1$ son fáciles de verificar, por lo que solo debemos considerar$n \geq 2$. Supongamos que$\frac{8^n + n}{2^n + n} = k \in \mathbb{Z}$, luego$(k - 1)n = 2^n(4^n - k)$. Si$k$ es par, entonces$k - 1$ es impar, entonces$n$ debe ser parejo, pero entonces$n \not \mid 2^n$ desde$n < 2^n$. Así que$k$ es impar. En este punto me quedé atascado.

Answer 1

Usando la división larga, podemos escribir:

PS

Cuando$$\frac{8^n+n}{2^n+n} = 4^n - 2^nn + n^2 - \frac{n^3-n}{2^n+n}$, esa última fracción no puede ser un entero porque el denominador se vuelve más grande que el numerador. Por lo tanto, solo necesita verificar los valores de$n\ge 10$, lo que parece que ha hecho.