He encontrado este interesante problema que resulta ser más difícil de lo que parece:
Supongamos $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función tal que $f(f(x))=x$ todos los $x \in \mathbb{R}$. Probar que existe un número irracional $t$ tal que $f(t)$ es irracional.
El $f(f(x))=x$ condición me recuerda a un punto fijo de los problemas, pero como nada acerca de $f$ es conocido que yo no estoy seguro de cómo aplicar esto. En lugar de eso, pensé en el estándar de 'irracional irracional de poder ser racional' problema. Así que he pensado hacer algo a lo largo de las líneas de toma de $x \in \mathbb{R}$ irracional, a continuación, mirando a $f(x)=y$. Si $y$ es irracional hemos terminado. Si no, tengo ganas de intentar algo como $\sqrt{2}y$ como una entrada iba a funcionar pero nada realmente desarrollado.
Entonces observé si $g(x)=(f\circ f)(x)$, tenemos $$ g(xy)=xy=g(x)g(y) $$ y $$ g(x+y)=x+y=g(x)+g(y) $$ pero no estoy seguro de lo que esto me pone. Alguna pista en cuanto a cómo podría proceder, o tal vez una ruta alternativa?
