Comportamiento asintótico de las distribuciones posteriores.

Question

Estoy teniendo un tiempo difícil la comprensión de un pasaje de un famoso artículo, a saber,

Walker, A. M. "Sobre el Comportamiento Asintótico de las Distribuciones Posteriores." Diario de la Sociedad Real de Estadística. Serie B (Metodológico), vol. 31, no. 1, 1969, pp 80-88. enlace

Entre las fórmulas (7) y (8), hay un pasaje donde el autor pasa a demostrar el punto i). Voy a escribir el pasaje, pero han dejado el enlace para todos los supuestos.

Cita:

Deje $Z_i=\frac{log(f(X_i|\theta))}{log(f(X_i|\theta_0))}$. Entonces si $E(Z_i)$ es finito, se desprende de la concavidad de la función logarítmica que $$E(Z_i)<logE(e^{Z_i})=0$$

Ahora, yo entiendo que el uso de la logarítmica de la concavidad, pero ¿cómo es, entonces, el logaritmo del valor esperado de la exponencial de la variable aleatoria sea igual a cero? Tiene nada que ver con el momento de generación de la función de $Z_i$?

Answer 1

Aquí hay dos pasos, el primero es el uso de la desigualdad de Jensen y el segundo es un truco de expectativas. Primero, ya que$\log()$ es una función cóncava, por la desigualdad de Jensen para una variable aleatoria$X$,$$E(\log(X) ) \leq \log(E(X)).$ $

Por lo tanto, \begin{align*} E(Z_i) & = E[ \log(e^{Z_i}) ]\\ &\leq \log(E(e^{Z_i})). \end {align *}

A continuación, vamos a calcular la expectativa. \begin{align*} E(e^{Z_i}) & = \int \exp \left\{\log \dfrac{f(X_i|\theta)}{f(X_i|\theta_0)} \right\} f(X_i | \theta_0 ) \,dX_i\\ & = \int \dfrac{f(X_i|\theta)}{f(X_i|\theta_0)}f(X_i | \theta_0 ) \,dX_i\\ & = \int f(X_i | \theta) dX_i\\ & = 1. \end{align*}

Combinando ambos resultados, obtenemos,$$E(Z_i) \leq \log (1) = 0\,. $ $