Valor máximo de $p+q+r$ donde $p=q(4-q), q=r(4-r), r=p(4-p)$ y $p,q,r\in R$

Question

Esta parece ser una pregunta trivial, pero por alguna razón me parecen una contradicción. Agradecería si alguien pudiera por favor que me ayude.$$$$

Deje $p,q,r\in R$. Si $p=q(4-q), q=r(4-r), r=p(4-p)$, de encontrar el máximo valor de $$p+q+r$$

$$$$ Mi intento:

$$p+q+r$$ $$=q(4-q)+(4-r)+(4-p)$$ $$=-(p^2+q^2+r^2-4p-4q-4r)$$ $$=-[(p-2)^2+(q-2)^2+(r-2)^2-12]$$ $$=12-[(p-2)^2+(q-2)^2+(r-2)^2]$$ $$$$ $$\Rightarrow p+q+r=12-[(p-2)^2+(q-2)^2+(r-2)^2]$$ $$$$ Así es minimizar $[(p-2)^2+(q-2)^2+(r-2)^2]$ Esto claramente alcanza su valor mínimo en $p=2,q=2,r=2$. Por lo tanto, parece que (para mí) que el valor mínimo de $$p+q+r=12-[0]=12$$ $$$$ Sin embargo, esto no coincide con la respuesta. $$$$ Además, me parece estar llegando a una contradicción ya que si $q=2$, $p=q(4-q)=2(4-2)=4$ (que claramente no coincide con $p=2$) y así sucesivamente para $r$$p$. $$$$Podría alguien por favor explicar de dónde estoy pasando mal, y por qué estoy llegando a esta contradicción? $$$$ Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Puesto que (desigualdad de Cauchy Shwartz) $$ {1\over 3}(p+q+r)^2 \leq p^2+q^2+r^2 $ $ y $$ p^2+q^2+r^2= 3(p+q+r)$ $

tenemos %#% $ #%

tenemos $$ {1\over 3}(p+q+r)^2 \leq 3(p+q+r)$.

Valor $p+q+r\leq 9$ se logra si $9$. Así $p=q=r=3$

Answer 2

Deje $f:\Bbb R\to\Bbb R$ ser la función de $f(x)=x(4-x)$. A continuación, las condiciones dadas son ahora $$ p=f(q)\ ,\ q=f(r)\ ,\ r=f(p)\ . $$ Por lo $p,q,r$ son soluciones de la ecuación $$ x = f(f(f(x)))\ , $$ tomado de la compatibilidad.

Vamos a encontrar todas las raíces de esta ecuación polinómica. Este es explícita, y quería hacerlo de forma explícita:

sage: f(x) = x*(4-x)
sage: factor( f(f(f(x))) - x )
-(x^3 - 6*x^2 + 9*x - 3)*(x^3 - 7*x^2 + 14*x - 7)*(x - 3)*x

(Computer aided información, la salvia. Los cálculos están por encima y por debajo exacta, a pesar de las impresiones puede implicar algunos flotante-puntos-como impresiones.)

Para las raíces de las $p$ de los de arriba polinomio tenemos la suma correspondiente:

sage: for p in ( f(f(f(x))) - x ).roots(ring=AA, multiplicities=False):
....:     print "p     = %s\np+q+r = %s\n" % ( p, p+f(p)+f(f(p)) )
....:     
p     = 0
p+q+r = 0

p     = 0.4679111137620440?
p+q+r = 6.000000000000000?

p     = 0.7530203962825330?
p+q+r = 7.000000000000000?

p     = 1.652703644666140?
p+q+r = 6

p     = 2.445041867912629?
p+q+r = 7.000000000000000?

p     = 3
p+q+r = 9

p     = 3.801937735804839?
p+q+r = 7.000000000000000?

p     = 3.879385241571817?
p+q+r = 6.000000000000000?

De modo que las sumas posibles son (exactamente calculadas) $0,6,7,9$, y el máximo de la suma es $9$, obtenido por $p=q=r=3$.

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Con la información anterior, es tal vez más simple para obtener un humano de la prueba.

Deje $p,q,r$ ser tal que $S=p+q+r$ es máxima. Obviamente, $S\ge 9$, ya que la instancia de $p+q+r=9$$p+q+r=3$.

La función de $f$ es cóncava en a $\Bbb R$ ($\cap$- parábola), así que podemos aplicar la desigualdad de Jensen, $$ \begin{aligned} S&=p+q+r \\ &=f(p)+f(q)+f(r) \\ &\le 3\cdot f\left(\frac {p+q+r}3\right) \\ &=3\cdot\frac S3\left(4-\frac S3\right) \\ &=S\left(4-\frac S3\right)\ . \end{aligned} $$ Desde $S>0$ (a maximality), llegamos a la de $S\le S\left(4-\frac S3\right)$, primera $1\le 4-\frac S3$,$-3\le -\frac S3$, es decir,$9\ge S$.

Este fue el recíproco de la desigualdad.