Problema específico sobre la teoría de la distribución.

Question

*****Nota: Las partes A, C y D las he conseguido. Sólo necesito ayuda en la parte B ahora realmente apreciaría la ayuda en B

Hola, en mi análisis real de verano (o medidas y análisis real como se refiere mi instructor) se me presentó esta pregunta del análisis real de Folland segunda edición sobre la teoría de la distribución que me ha estado matando lentamente. No tengo ni idea de cómo abordarla. Es la pregunta 9.11 que es:

Por soporte de una distribución se entiende, obviamente, el complemento del conjunto abierto máximo en el que la distribución es idéntica a cero. Mi problema es cómo utilizar el soporte siendo cero para proceder No veo realmente cómo relacionar cualquier parte de esta pregunta con algo que ya sé Gracias a todos los ayudantes

PROGRESO: Después de romperme los dientes puedo resolver todo excepto la parte b (realmente difícil para mí). Las partes A, C y D las he conseguido. Sólo necesito ayuda en la parte B ahora realmente apreciaría respuesta en B

EDIT: Por último solo requiero ayuda en la parte B de esta pregunta ya que gracias a los útiles comentarios ahora puedo resolver todo menos la parte B ya que no puedo incorporar la pista y expresar la derivada indexada

Answer 1

Por el Fórmula de Leibniz (multidimensional) tenemos

$$\begin{align*} \partial^{\alpha} \phi_k&= \sum_{\beta+\gamma = \alpha} \underbrace{c_{\beta,\gamma} (\partial^{\beta} \phi) \cdot (\partial^{\gamma} (1-\psi(k \bullet)))}_{=:S_{\beta,\gamma}} \end{align*}$$

para algunas constantes $c_{\beta,\gamma}$ (que se puede calcular de forma explícita). Si $\gamma=0$ entonces $\alpha = \beta$ y

$$S_{\alpha,0}(x) = \underbrace{c_{\alpha,0}}_{1} (1-\psi(k x)) \partial^{\alpha} \phi(x).$$

Si $\gamma \neq 0$ entonces

$$S_{\beta,\gamma}(x) = c_{\beta,\gamma} k^{|\gamma|} (\partial^{\beta} \phi(x)) (\partial^{\gamma} \psi(y) \big|_{y=kx}).$$

Como sugiere la pista, se deduce directamente de la fórmula de Taylor que $|\partial^{\beta} \phi(x)| \leq C |x|^{N+1-|\beta|}$ para $|\beta| \leq N$ . Recordemos que $\partial^{\gamma} \psi (x) = 0$ para todos $|x| \geq 2$ . Por lo tanto, $\partial^{\gamma} \psi(kx) = 0$ para todos $|x| \geq 2/k$ . Esto implica

$$\begin{align*} |S_{\beta,\gamma}(x)| &\leq c_{\beta,\gamma} k^{|\gamma|} C' \sup_{|y| \leq 2/k} |y|^{N+1-|\beta|} \\ &\leq c_{\beta,\gamma} C'' |k|^{|\gamma|+|\beta|-(N+1)}; \end{align*}$$

aquí, hemos utilizado que las derivadas de $\psi$ están acotados. Dado que $$|\gamma|+|\beta|-(N+1) = |\alpha| - (N+1) \leq -1,$$

obtenemos

$$\sup_{x \in \mathbb{R}^d} |S_{\beta,\gamma}(x)| \to 0 \qquad \text{as $ k \a \a \a infty $}$$

para todos $\gamma \neq 0$ . Finalmente, observamos que por la desigualdad del triángulo y las observaciones anteriores

$$|\partial^{\alpha} \phi_k(x)-\partial^{\alpha}(x)| \leq |(1-\psi(kx)| |\partial^{\alpha} \phi(x)| + \bigg| \sum_{\substack{\beta+\gamma=\alpha \\ \gamma \neq 0}} S_{\beta,\gamma}(x) \bigg|.$$

Ya hemos demostrado que los segundos términos convergen uniformemente a $0$ . La convergencia uniforme del primer término se deduce directamente de las propiedades de $\psi$ y la acotación de $\partial^{\alpha} \phi$ .