Demostrando que el conjunto de secuencias $\{x_k\}$ tal que $x_k \ge 0$ tiene un vacío interior.

Question

Mostrar que en la normativa espacio vectorial $\mathcal l_1$ (espacio vectorial real de secuencias convergentes bajo la norma $||r_k||_1= \sum |r_k|$), el conjunto $P=\{\{x_k\} \mid x_k \ge 0 \; \forall k \in \Bbb N\}$ tiene un vacío interior.

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Mi prueba de lo que ahora va como esto: Suponga que $\exists \{x_k\} \in \mathcal l_1 \text { such that } \{x_k\} \in int(P)$, entonces tenemos que $\{x_k\} \in P$ y $\exists B(\{x_k\},\epsilon) \subset P$ (por la definición de interior de la que estoy trabajando), por lo que sé que tengo que encontrar una secuencia $\{y_k\} \in B(\{x_k\},\epsilon)$ con términos negativos (una secuencia de "lo suficientemente cerca" a $\{x_n\}$ que no está en $P$, que conduce a una contradicción). Pero me parece que no puede encontrar intuitivamente una secuencia con las propierties, tal vez me estoy tomando el camino largo y es más simple que eso, que me estoy perdiendo algo aquí?

Answer 1

Lo que falte es el hecho de que

$$\sum_{i=1}^\infty |x_k|

implica que el $x_k \to 0$ $k\to \infty$. Así que para todos los $\epsilon$, $k=k(\epsilon)$ así que $x_k

$$y^\epsilon_k = \begin{cases} -\epsilon &\text{if }k = k(\epsilon), \ x_k &\text{otherwise.}\end{cases}$$

No es este $y^\epsilon$ $P$ y $| {x_k} - y^\epsilon|

Answer 2

Es necesario utilizar el hecho de que se trabaja con secuencias convergentes:

Supongamos que hay un $(x_k)$ en el interior de $P$. Que significa que alrededor del $\varepsilon>0$ tenemos $(y_k)\in P$ cada $(y_k)\in \mathcal{l}_1$ tal que $||(x_k)-(y_k)||_1