2 prueba de problemas de convergencia: $\sum^{\infty}_{k=1}5^k/(3^k+4^k)$ y $\sum^{\infty}_{n=1}\tan\left(1/n\right)$

Question

Para el primer problema: $$\sum^{\infty}_{k=1}\frac{5^k}{3^k+4^k}$$

Intenté hacer la prueba de la proporción pero tenía problemas para simplificar $$\frac{3^k + 4^k}{3^{k+1} + 4^{k+1}}$$

Para el segundo problema: $$\sum^{\infty}_{n=1}\tan\left(\frac{1}{n}\right)$$

No sé cómo enfocarlo.

Gracias por la ayuda, como siempre

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\lim_{n\to\infty}n^{+1}\tan(n^{-1})=1<\infty$$ por lo que la serie correspondiente es divergente. Esto es similar a la siguiente serie: $$\sum_1^\infty\sin\left(\frac{1}n\right)$$

Answer 2

Para el primer problema

$$\frac{\frac{5^{k+1}}{3^{k+1}+4^{k+1}}}{\frac{5^k}{3^k+4^k}}$$

$$=\frac{5^{k+1}(3^k+4^k)}{5^k(3^{k+1}+4^{k+1})}$$

$$=5\cdot\frac{\left(\frac34\right)^k+1}{3\cdot\left(\frac34\right)^k+4}$$

Por lo tanto, utilizando Prueba de la relación : $$\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{5^{k+1}}{3^{k+1}+4^{k+1}}}{\frac{5^k}{3^k+4^k}}=\frac54$$

Answer 3

Para la segunda utilice la prueba de comparación de límites con $\dfrac 1 n$ para demostrar que es divergente. Para la primera nota que, $\dfrac{5^k}{3^k+4^k}>\frac 1 2(\dfrac{5}{4})^k$ que no tiende a $0$ .