derivado de $n$-ésima de la función Beta

Question

Que prácticamente no saben nada acerca de la alta orden de los derivados de la función Beta. Así, se sabe por ejemplo que algunas fórmulas recursivas para $\Gamma^{(n)}(1)$ $\Gamma^{(n)}\left(\frac{1}{2}\right)$ pero eso es todo. Ayer , me encontré con el siguiente integral:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\log^n x}{\left ( 1+x^2 \right )^m}\, {\rm d}x$$

Como puede verse fácilmente , tenemos que:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{\left ( 1+x^2 \right )^m}\, {\rm d}x ={\rm B}^{(1)} \left ( \frac{1}{2}, m- \frac{1}{2} \right ) \implies \int_{0}^{\infty} \frac{\log^n x}{\left ( 1+x^2 \right )^m}\, {\rm d}x = {\rm B}^{(n)} \left ( \frac{1}{2}, m- \frac{1}{2} \right )$$

La pregunta es si podemos o no podemos expresar que el pasado $n$-ésima derivada en forma cerrada -, probablemente, en forma inductiva. Supongo que será difícil, pero con las matemáticas nunca se sabe.

Answer 1

Deje que nos indican con

$$f(n, m)=\int_0^\infty \frac{\log^n x}{(1+x^2)^m}\, {\rm d}x$$

Es muy straigtforward tener en cuenta que:

$$f(n, 1)=\int_{0}^{\infty} \frac{\log^n x}{1+x^2}\, {\rm d}x = \left\{\begin{matrix} 0 &, &{\rm odd} \\ 2n! \beta(n+1)&, &{\rm even} \end{de la matriz}\right.$$

Aquí $\beta$ denota la Beta de dirichlet de la función.

En el otro lado

$$f(1,m)= \int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{\left ( 1+x^2 \right )^m}= {\rm B}^{(1)} \left ( \frac{1}{2}, m - \frac{1}{2} \right )= \frac{\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) \Gamma \left ( m- \frac{1}{2} \right ) \bigg[ \psi^{(0)}\left ( \frac{1}{2}\right) - \psi^{(0)} \left ( m- \frac{1}{2} \right ) \bigg]}{m^2 \Gamma(m)}$$

El uso de gammatester comentario más general resultado, que es para $f(n,m)$ el uso de Leibniz la regla general tenemos que:

$$f(n, m)= \int_{0}^{\infty} \frac{\log^n x}{\left ( 1+x^2 \right )^m}\, {\rm d}x = {\rm B}^{(n)} \left ( \frac{1}{2}, m- \frac{1}{2} \right )= \frac{1}{m^2 \Gamma(m)}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \Gamma^{(k)} \left ( \frac{1}{2} \right )\Gamma^{(n-k)} \left ( m- \frac{1}{2} \right )$$

Por supuesto, para $\Gamma^{(n)} \left(\frac{1}{2} \right)$ tenemos la siguiente fórmula de reducción:

$$\Gamma^{(n+1)}\left ( \frac{1}{2} \right )= -\left ( \gamma +2 \log 2 \right ) \Gamma^{(n)} \left ( \frac{1}{2} \right ) +n ! \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{\left ( n-k \right )!} \left ( 2^{k+1}-1 \right )\zeta(k+1) \Gamma^{(n-k)}\left ( \frac{1}{2} \right )$$