La función Gamma no tiene ceros

Question

Cómo puedo probar la función Gamma no tiene ceros en su holomorphy dominio $\Bbb C\setminus\Bbb Z_{\le0}$ utilizando sólo su integral definición de $\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}\,dt$ válido al $\Re z>0$ y el funcional de la ecuación de $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$?

A partir de la integral de la definición que podemos encontrar fácilmente la holomorphic extensión; por lo tanto, sería suficiente para demostrar que el$\Gamma\neq0$$\{\Re z>0\}$, utilizando así la forma integral. Pero no puedo probar ni este.

Alguien me puede ayudar?

EDIT: Esta pregunta no es un duplicado porque todos la solución dada uso más "avanzados" de herramientas. Aquí estoy preguntando para demostrar que la Gamma no tiene ceros utilizando SÓLO su representación integral

Answer 1

Suponga que $\Gamma(\alpha) = 0$ algunos $\Re(\alpha) > 0$. Entonces para cualquier $s \geq 0$, la sustitución de $ t = (1+s)x$ da

$$ 0 = \frac{\Gamma(\alpha)}{(1+s)^{\alpha}} = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} e^{-sx} \, \mathrm{d}x. \tag{1}$$

1. Esto ya es suficiente para darle una contradicción desde el lado derecho es la transformada de Laplace de $x \mapsto x^{\alpha-1} e^{-x}$ y por lo tanto no puede ser idéntica a cero.

2. Si podemos evitar el uso de la transformada de Laplace, todavía podemos derivar una contradicción. Deje $0 < \sigma < \Re(\alpha)$. Para esto $\sigma$, sabemos que $\Gamma(\sigma) > 0$. A continuación, se multiplican ambos lados de $\text{(1)}$ $s^{\sigma-1}/\Gamma(\sigma)$ e integrar w.r.t. $s$ $[0, \infty)$ . Por el teorema de Fubini, esto produce \begin{align*} 0 & = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} \left( \frac{1}{\Gamma(\sigma)} \int_{0}^{\infty} s^{\sigma-1} e^{-sx} \, \mathrm{d}y \right) \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-\sigma-1} e^{-x} \, \mathrm{d}x \\ &= \Gamma(\alpha-\sigma). \end{align*} Esto demuestra que $\Gamma(z) = 0$ a lo largo de la línea de segmento de unirse a $i\Im(\alpha)$$\alpha$. A continuación, la identidad teorema nos dice que $\Gamma(z)$ es idéntica a cero para $\Re(z) > 0$, lo cual es imposible.

Answer 2

$$ \eqalign{ & \Gamma (z) = \int_{t\, = \,0}^{\,\infty } {e^{\, - z} t^{\,z - 1} dt} = \int_{t\, = \,0}^{\;1} {e^{\, - z} t^{\,z - 1} dt} + \int_{t\, = \,1}^{\;\infty } {e^{\, - z} t^{\,z - 1} dt} = \cr & = \sum\nolimits_{t\, = \,0}^{\;\infty } {{{\left( { - 1} \right)^{\, - k} } \over {k!(z + k)}}} + \int_{t\, = \,1}^{\;\infty } {e^{\, - z} t^{\,z - 1} dt} \cr} $$ donde $\int_{t\, = \,1}^{\;\infty } {e^{\, - z} t^{\,z - 1} dt} $ es una función completa. Este bien conocido el desarrollo, usted puede encontrar más detalles en muchas de las publicaciones en función Gamma (por ejemplo: en "La teoría de funciones analíticas, un breve curso - A. I. Markushevich ")