Un problema persistente acerca de la frontera en la topología

Question

Un problema es que me molesta que muchos años después de que lo conocí:

Demostrar que cualquier subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^2$ es el límite de algunas en $\mathbb{R}^2$.

He jugado con este problema varias veces en los últimos 20 años, pero nunca he sido capaz de demostrarla, o por el contrario, demostrar que la cuestión planteada es de alguna manera equivocada.

No recuerdo en qué libro me encontré con la pregunta originalmente (pero estoy bastante seguro de que es exactamente la pregunta que aparecía en el libro).

Cualquier ayuda, ya sea con la topología o la fuente sería recibido con gratitud!

Answer 1

Cualquier subespacio de $\mathbb{R}^2$ es segundo contable, y por lo tanto separables. Así que si $X$ es su subespacio cerrado, entonces vamos a $A$ ser una contables subconjunto de $X$ que es denso en $X$. A continuación el cierre de $A$ ( $\mathbb{R}^2$ )$X$, mientras que el interior de $A$ está vacía (desde cualquier trivial conjunto abierto en $\mathbb{R}^2$ es incontable). Por lo tanto $X$ es el límite de $A$.

Answer 2

Hay una forma muy elemental para resolver esto, que también es mucho más ampliamente aplicable.

Deje $Y$ ser un espacio topológico que se puede dividir en subconjuntos densos $D$$E$. Si $X \subset Y$ es cerrado, entonces hay un $V \subset X$ tal que $\operatorname{Fr} V = X$.

Tome $V = X \setminus (D \cap \operatorname{Int} X)$. Entonces a partir de la $V \subset X$ tenemos $\operatorname{Cl} V \subset \operatorname{Cl} X$, e $\operatorname{Fr} X \subset V$ $E \cap \operatorname{Int} X$ denso en $\operatorname{Int} X$, por lo $\operatorname{Cl} V = X$. Por otro lado $Y \setminus X$ es denso en $Y \setminus \operatorname{Int} X$ $D \cap \operatorname{Int} X$ es denso en $\operatorname{Int} X$, por lo $\operatorname{Int} V = \emptyset$. De ello se desprende que $ \operatorname{Fr} V = X$.

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Información adicional:

La pregunta que probablemente vino de Willard de la topología General, el problema 3 B.

Como Henno Brandsma señaló en un comentario, un espacio que se puede dividir en dos subconjuntos densos se llama resoluble. Para algunos ejemplos de irresoluble espacios, véase la respuesta a "Es un conjunto perfecto de un límite?".

Un poco más fuerte resultado puede encontrarse en "Cualquiera de los dos abiertos disjuntos de conjuntos en el interior y el exterior de un conjunto".