Pregunta sobre jugador ' s ruina

Question

Considere la posibilidad de un proceso de juego $(X_n)_{n∈\mathbb{N}}$ en el espacio de estado $S = {0, 1, . . . , N}$, con una probabilidad de $p$, resp. $q$, de moverse hacia arriba, resp. abajo, en cada paso de tiempo. Para $x = 0, 1, . . . , N$, vamos a $τ_x$ denotar la primera golpear tiempo, $τ_x := \inf\{n ≥ 0 : X_n = x\}$

Deje $p_x := P(τ_{x+1} < τ_0 | X_0 = x), x = 0, 1, . . . , N − 1$

Explicar por qué la $p_x$ satisface la recursividad $p_x = p + qp_{x−1}p_x$$x = 1, . . . , N − 1$.

Puedo aplicar el primer paso del análisis, el cual

$P(τ_{x+1} < τ_0 | X_0 = x) = P(τ_{x+1} < τ_0 | X_0 = x_1, X_1=x+1) \cdot P(X_1=x+1 |X_0 = x) + P(τ_{x+1} < τ_0 | X_0 = x_1, X_1=x-1) \cdot P(X_1=x-1 |X_0 = x)$

Por el tiempo homogéneo de la propiedad, la ecuación se reduce a,

$P(τ_{x+1} < τ_0 | X_0 = x+1) \cdot P(X_1=x+1 |X_0 = x) + P(τ_{x+1} < τ_0 | X_0 =x-1) \cdot P(X_1=x-1 |X_0 = x)$

Dado que el estado inicial es $x+1$, ya tenemos un "hit" $x+1$ antes de golpear $0$. De manera que la ecuación es ahora

$1 \cdot p + P(τ_{x+1} < τ_0 | X_0 =x-1) \cdot q$

Ahora todo queda por hacer es encontrar la $P(τ_{x+1} < τ_0 | X_0 =x-1)$

El Evento $\{τ_{x+1} < τ_0 \}$ que $X_0 =x-1$ puede ser representado como rutas de acceso con las siguientes tendencias en la foto de abajo.

Creo que el gráfico de la derecha expone correctamente la 2 a las tendencias generales de los resultados en el evento.

Puede ser descrito como las rutas que empiezan a $x_1$, subiendo y bajando en cualquier forma, salvo que llegar a $0$ antes de golpear $x+1$, y luego con el tiempo golpeando la absorción de estado $0$ o $N$.

Pero, me dijeron que debemos IGNORAR la presencia de la absorción de estado $N$ y hacer el siguiente,

Considere la gráfica de la izquierda,

Primer tratamiento de $x$ como una absorción de estado y por lo tanto la línea verde tiene probabilidad de $p_{x_1}$.

A continuación, tratar $x+1$ como una absorción de estado y por lo tanto la línea azul tiene la probabilidad de $p_{x}$. Se detiene aquí, ya que es una absorción estado.

Es el enfoque anterior válido? Parece muy extraño como $0$ $N$ se define como el tiempo de absorción de los estados en el proceso de juego.

Si el enfoque es válido, ¿por qué así? (Edit: DEFINITIVAMENTE NO, ¿por Qué la persona incluso me dicen esto).

Si no, ¿cuál es el enfoque adecuado aquí? (Edit: La aceptación de la respuesta).

Answer 1

Vamos a escribir $\mathbb P_x(\cdots) = \mathbb P(\cdots \mid X_0 =x)$. Deje $$A_{x+1} = \{\tau_{x+1} < \tau_0 \}=\{\text{hit $x+1$ before 0}\}$$ ser el evento deseado. Tenemos \begin{align*} p_x = \mathbb P_x(A_{x+1}) &= \mathbb P_x(X_1 = x+1) \mathbb P(A_{x+1} \mid X_1 = x+1)+ \mathbb P_x(X_1 = x-1) \mathbb P(A_{x+1} \mid X_1 = x-1) \\ &= p \cdot 1 + q \;\mathbb P(A_{x+1} \mid X_1 = x-1) \\ &= p \cdot 1 + q \mathbb P_{x-1}(A_{x+1}) \\ \end{align*} Sólo queda calcular la probabilidad de golpear $x+1$ antes de partir de cero en $x-1$. Pero esto es equivalente a golpear $x$ antes de partir de cero en $x-1$, luego de golpear $x+1$ antes de cero como si comenzamos de nuevo de $x$, y al fuerte de Markov de la propiedad de estos dos eventos son independientes (esto es mano saludando, ver detalles más abajo!), por lo tanto la probabilidad es $p_{x-1} p_x$.

Si desea más detalles: \begin{align} \mathbb P_{x-1}(\tau_{x+1} <\tau_0) &\stackrel{(a)}{=} \mathbb P_{x-1} (\tau_{x} < \tau_0, \tau_{x+1} < \tau_0) \\ &\stackrel{(b)}{=} \mathbb P_{x-1} (\tau_{x} < \tau_0) \,\mathbb P( \tau_{x+1} < \tau_0 \mid \tau_x < \tau_0, X_0 = x-1) \\ &\stackrel{(c)}{=}\mathbb P_{x-1} (\tau_{x} < \tau_0)\, \mathbb P_x( \tau_{x+1} < \tau_0). \end{align} La igualdad (a) ya que si comienzas a $x-1$, usted tiene que golpear $x$$x+1$, que es $$\{\tau_{x+1} < \tau_0\} \cap \{X_0 = x-1\} \subset \{\tau_{x} < \tau_0\} \cap \{X_0 = x-1\}.$$

Más detalles: la Igualdad (b) por encima de básica de la probabilidad condicional: $$\mathbb P(A_x \cap A_{x+1} \mid X_0 = x-1) = \mathbb P(A_x \mid X_0 = x-1)\, \mathbb P(A_{x+1} \mid A_{x} \cap \{X_0 = x-1\}).$$ La igualdad (c) es difícil. Nos deja descomprimir: Podemos escribir $$\{\tau_{x} < \tau_0\} = \{\tau_x < \infty,\, \tau_0 = \infty\} \cup \{\tau_x < \tau_0 < \infty\}$$ y estos dos eventos son disjuntos. Sin embargo, tenga en cuenta que ambas implican que $\tau_x$ es finito, es decir, que de golpe de estado $x$ en algún momento. Ahora, vamos a definir $X'_n := X_{\tau_x + n},\; n\ge 0$ y deje $\tau'_{x}$ ser el golpear de tiempo de estado $x$ en este nuevo proceso de $\{X'_n\}$ (similar a $\tau_x$ que es el golpear el momento de la $x$$\{X_n\}$). También tenga en cuenta que $\{X'_n\}$ está bien definido en el caso de $\tau_x < \infty$.

Deje $B_x = \{\tau_x < \tau_0, \, X_0=x-1\}$. Queremos calcular el $\mathbb P (\tau_{x+1} < \tau_0 \mid B_x)$. Como se ha argumentado anteriormente, en $B_x$, $\tau_x$ es finito, es decir, $B_x \subset \{\tau_x < \infty\}$. Dado $B_x$, teniendo en cuenta que las primeras veces $X'_n$ $X_n$ de aciertos $x+1$, por definición, tenemos $\tau_{x+1} = \tau_x + \tau'_{x+1}$. Del mismo modo, en $B_x$, $\tau_0 = \tau_x + \tau'_0$. Por lo tanto, \begin{align} \mathbb P (\tau_{x+1} < \tau_0 \mid B_x) &= \mathbb P (\tau_{x+1} < \tau_0 \mid B_x \cap \{\tau_x < \infty\}) \\ &= \mathbb P (\tau'_{x+1}+\tau_x < \tau_0'+\tau_x \mid B_x \cap \{\tau_x < \infty\}) \\ &= \mathbb P (\tau'_{x+1} < \tau'_0 \mid B_x \cap \{\tau_x < \infty\}) \\ &\stackrel{(d)}{=} \mathbb P (\tau'_{x+1} < \tau'_0 \mid B_x \cap \{\tau_x < \infty, X'_0 = x\}) \\ &\stackrel{(e)}{=} \mathbb P (\tau'_{x+1} < \tau'_0 \mid \{\tau_x < \infty, X'_0 = x\}) \\ &\stackrel{(f)}{=} \mathbb P (\tau_{x+1} < \tau_0 \mid X_0 = x) = p_x \end{align} donde (d) es verdadera por definición de $\tau_x$ (asumiendo $\tau_x < \infty$) desde $X'_n = X_{\tau_x} = x$, y (e) y (f) seguir de fuerte de Markov de propiedad: Dado $\tau_x < \infty, X'_0 = y$, el proceso de $\{X'_n\}$ es independiente de $X_1,\dots,X_{\tau_x}$ y tiene la misma distribución que $\{X_n\}$$X_0 = y$. Tenga en cuenta que $B_x$ sólo depende de $X_1,\dots,X_{\tau_x}$ (no debe haber estado 0 en no), de ahí el uso de la independencia de la cláusula de fuerte de Markov, se puede quitar (la igualdad (e)).