¿Qué significa "menor densidad" en este problema?

Question

Si $\mathscr{U}$ es un ultrafiltro en $\omega$ entonces $\mathscr{U}$ contiene un subconjunto $A$ de densidad inferior a cero.

Este es un ejercicio de la página 76 de Problemas y teoremas de la teoría clásica de conjuntos Peter Komjath, Vilmos Totik. No conozco el significado de "menor densidad".

Una definición de "menor densidad" que encontré es una función: $\phi: 2^{\mathbb{R}} \to 2^{\mathbb{R}}$ , tal que, para cualquier $E \subseteq \mathbb{R}$ , entonces cualquier $x \in \phi(E)$ : $$\lim_{h \to 0} \frac{m(E \cap[x -h, x+h])}{2h}=1$$

¿La "menor densidad" del problema tiene alguna relación con esta definición?

Answer 1

Wikipedia da la siguiente definición: la densidad inferior de un conjunto $A \subset \omega$ es $$\liminf_{n \to \infty} \frac{|A \cap \{1, \dots, n\}|}{n}.$$ En otras palabras, encontrar la fracción de la primera $n$ enteros que están en $A$ y tomar el límite como $n \to \infty$ . La densidad superior es similar pero con un limsup.

Answer 2

A lo sumo tiene una conexión lejana. Si $A\subseteq\omega$ El densidad inferior (asintótica) de $A$ es

$$\underline{d}(A)=\liminf_{n\to\infty}\frac{|\{a\in A:a<n\}|}n\;;$$

véase este artículo .

Answer 3

Al final del libro que está leyendo, hay un glosario de conceptos. La definición de baja densidad se encuentra en la página 500.