Equivalencia unitaria y valores propios

Question

Después de una búsqueda encontré hilos con temas similares, pero ninguno con exactamente lo que quiero saber.

Una matriz $A$ es compleja y normal [real y simétrica] si y sólo si es unitariamente [ortogonalmente] equivalente a una matriz diagonal [real].

Escriba $A$ como $A=P^*DP$ . Entonces son las entradas de $D$ los valores propios de $A$ ?

Digamos que $A-tI = Q^*D'Q$ . Creo que esto sigue siendo complejo y normal [real y simétrico]. Por supuesto que tenemos $\det(A-tI)=\det(Q^*DQ)=\det(Q^*)\det(D')\det(Q)=\det(D')$ y esto hace el truco si las entradas de $D'$ son $A_{ii}-t$ pero creo que no tengo claro que este sea el caso.

Sospecho que esto es cierto, porque si lo es, de ello se desprenden algunas cosas bonitas que estoy tratando de demostrar (ilusiones, lo sé). Entonces, ¿cómo lo demostramos?

Answer 1

El diagonal entradas de $D$ son los valores propios de $A$ Sí.

Basta con observar los vectores propios de $D$ son los vectores estándar, con los valores propios las entradas diagonales. Y si $\mathbf{v}_i = P^*\mathbf{e}_i$ entonces $$A\mathbf{v}_i = AP^*\mathbf{e}_i = (P^*DP)P^*\mathbf{e}_i = P^*D\mathbf{e}_i = P^*d_{ii}\mathbf{e}_i = d_{ii}(P^*\mathbf{e}_i),$$ así que $P^*\mathbf{e}_i$ es un vector propio de $A$ con valor propio $d_{ii}$ (el $i$ en la diagonal de $D$ ). Desde $P^*$ invertible, los vectores $P^*\mathbf{e}_i$ son linealmente independientes, por lo que esto demuestra $A$ y $D$ tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades. Y por supuesto, los valores propios de $D$ son sólo las entradas diagonales de $D$ .

(Nota: el argumento anterior se aplica a cualquier relación por conjugación: si $A=M^{-1}BM$ entonces $A$ y $B$ tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades, ya que si $\mathbf{v}$ es un valor propio de $B$ entonces $M^{-1}\mathbf{v}$ es un valor propio de $A$ .)