Tasa de convergencia de secuencia adicionable

Question

Supongo que $a_n$ es una secuencia real no negativa tal que\begin{equation} \sum_n a_n

¿Qué sabemos acerca de $a_n$? Sabemos que $a_n\to 0$. Sabemos que $$\lim\inf n a_n = 0.$$ But can we say $%$ $\lim n a_n = 0?$si no, ¿por qué no? ¿Es decir, puede construir una secuencia que es adicionable pero este no es el caso?

Answer 1

Si $n$ es un cuadrado perfecto, que $a_n=\frac{1}{n}$. Si $n$ no es un cuadrado perfecto, que $a_n=\frac{1}{2^n}$.

Converge la serie $\sum a_n$, $nan=1n$sea un cuadrado perfecto. Por lo que no es verdad que el$\lim{n\to\infty} na_n=0$.

La idea es que si hacemos $a_n=\frac{1}{n}$ (de grande) en una escasa suficientemente establecido, con el resto de la $a_n$ "pequeño", tenemos convergencia.

Answer 2

La respuesta es no. Más fuerte de lo siguiente es verdadero.

Deje $b_n$ ser cualquier secuencia cuyo límite es 0. A continuación, hay una secuencia $a_n$ que es summable, y es igual a $b_n$ para infinidad de $n$.

Prueba. Deje $a_n = b_n$ la primera vez que $|b_n| < 1$, la primera vez después de que ese $|b_n| < \frac{1}{2}$, la primera vez después de que ese $|b_n| < \frac{1}{4}$ y así sucesivamente. En todos los demás puntos de $a_n$ 0. Por construcción es igual a $b_n$ infinitamente a menudo, sin embargo, la suma del valor absoluto de sus términos es acotada arriba por $1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... = 2$.

Ahora aplicar este resultado a $b_n = \frac{1}{n}$. O, más patológicamente, $\frac{1}{\sqrt{n}}$. O cualquier otra o(1) de la secuencia que desee.

Answer 3

Como han dicho los otros anwsers, esto no es cierto en el caso general. Sin embargo, si piensas $(an)$no aumenta, entonces usted tiene$\lim\limits{n \to \infty} n \cdot a_n = 0 $.

Para entender por qué, consideran $\sum\limits_{k=n+1}^{2n} a_k$.

En una mano, $\sum\limits_{k=n+1}^{2n} ak \ge \sum\limits{k=n+1}^{2n} a{2n} = n \cdot a{2n} $.

Por otra parte, $\sum\limits_{k=n+1}^{2n} ak = \sum\limits{k=0}^{\infty} ak - \sum\limits{k=0}^{n} ak- \sum\limits{k=2n+1}^{\infty} a_k \to 0 $cuando$ n \to \infty$.

Por lo tanto $\lim\limits{n \to \infty} 2n \cdot a{2n} = 0$.

Y por último $(2n+1) \cdot a{2n+1} \le (2n+1) \cdot a{2n} = 2n \cdot a{2n} + a{2n} \to 0 $cuando$ n \to \infty$.