Cilindro dentro de un cilindro - rotación.

Question

Un cilindro homogéneo de radio a y la masa m rueda en un cilindro hueco de radio R. Determine la energía cinética del cilindro en función de $\dot{\theta}$ .

Muy bien, he encontrado este problema dentro de un viejo libro de texto mío. Extrañamente no había ningún dibujo para esto, así que estaba un poco desconcertado acerca de dónde $\theta$ en realidad lo es.

Intenté dibujar esto y mientras dibujaba me di cuenta de dos ángulos que podrían encajar en la descripción.

Aunque al imaginar el cilindro smalle rodando por dentro pensé que debía ser el ángulo que casualmente también denoté como $\theta$ ¿verdad?

Así que he intentado abordar este problema desde este ángulo, pero no sé cómo empezar. Hace un par de semanas hablamos de la energía rotacional y estaba pensando que tal vez sólo tiene energía rotacional ya que no hay energía traslacional si no me equivoco? Así que, $E=I\omega ^2$ ? Pero no sé cómo conseguir $\omega=\dot{\theta}$ .

Answer 1

Si puedes dibujar un diagrama vectorial utilizando el centro del cilindro exterior como origen, deberías ser capaz de escribir ecuaciones vectoriales i,j para la posición del centro de masa del cilindro interior y el punto de contacto del cilindro interior con el exterior. Diferenciando las ecuaciones con respecto al tiempo deberías obtener una relación entre PHI y THETA.

La energía cinética sería el total del momento angular alrededor del eje que pasa por el centro del cilindro interior y el momento lineal (instantáneo) del centro de masa del cilindro interior. Deberías poder expresar el momento lineal como una expresión en theta/phi por la condición de rodadura que el punto de contacto del cilindro interior, por lo que entonces deberías tener la expresión para la energía cinética en función de theta (¿PHI?).

Answer 2

Lo difícil es calcular el momento de inercia del pequeño cilindro. Se nos dice que es uniforme, por lo que tiene inercia alrededor de su centro de $\frac{1}{4}ma^2$ Así que ahora utilizamos el teorema de los ejes paralelos y su inercia alrededor del centro del cilindro hueco es $(\frac{1}{4}a^2+(R-a)^2)m$ . Así que ahora utilizamos la fórmula de la inercia y obtenemos $E=\frac{1}{2}I\theta^2=\frac{1}{2}(\frac{1}{4}a^2+(R-a)^2)^\theta^2$