Es cada finito-dimensional Mentira álgebra el álgebra de la Mentira de un cerrado lineal Mentira grupo?

Question

Esta cuestión está estrechamente relacionada con este.

Ado del teorema establece que dado un número finito de dimensiones Mentira álgebra $\mathfrak g$, existe una representación fiel $\rho\colon\mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)$, $V$ un finito-dimensional espacio vectorial. En el real o complejo caso de que uno puede tomar el exponente de la imagen y obtener un (virtual) se encuentran subgrupo $\exp\rho(\mathfrak g)$ $GL(V)$ tener Mentira álgebra $\rho(\mathfrak g)$. Pero nada garantiza que este subgrupo se cerró en $GL(V)$.

Así que la pregunta es: es cada finito-dimensional Mentira álgebra el álgebra de la Mentira de algunos cerrado lineal Mentira grupo? Estoy interesado principalmente en la real y complejo caso, pero podría ser interesante preguntarse ¿qué sucede en el ultrametric caso así.

Answer 1

Creo que la respuesta es sí. Parece que usted puede demostrar que confiar en una conveniente la prueba de Ado del teorema.

Procesi del libro, "Mentira grupos: un enfoque a través de invariantes y representaciones", tiene el siguiente teorema anterior a la prueba de Ado del teorema:

Teorema 2. Dada una Mentira álgebra $L$ con semismiple parte $A$, podemos incrustar en una nueva Mentira de álgebra $L'$ con las siguientes propiedades:

1. $L'$ tiene el mismo semismiple parte $A$$L$.
2. La solución radical de $L'$ se descompone como $B' \oplus N'$ donde $N'$ es el nilpotent radical de $L'$, $B'$ es un abelian Mentira álgebra actuando por semisimple derivaciones, y $[A, B'] = 0$.
3. $A \oplus B'$ es una subalgebra y $L' = (A \oplus B') \ltimes N'$.

Con todo eso, la idea es probar primero el refinamiento de Ado del teorema de $L'$. Necesitamos un particular refinamiento: Vamos a $\tilde{A}$ ser la máxima expresión algebraica semisimple Mentira de un grupo con la Mentira de álgebra $A$, y deje $\tilde{B'}$ $\tilde{N'}$ ser el contráctiles Mentira grupos con álgebras de Lie $B'$$N'$. Si podemos encontrar un cerrado la incorporación de la $(\tilde{A} \times \tilde{B'}) \ltimes \tilde{N'}$ en un grupo de matrices, a continuación, va a restringir a un cerrado la incorporación de la Mentira de los subgrupos de la original $L$.

En la prueba de Ado del teorema que sigue, la acción de la $N'$ es nilpotent, por lo que la representación de $\tilde{N'}$ es cerrado y fieles. La Mentira de álgebra $L'$ tiene una representación que es trivial en $B'$ $N'$ y genera $\tilde{A}$. Tiene otra representación que es trivial en $N'$$A$, y para el cual la acción de la $B'$ es nilpotent. Si no he cometido un error, la suma directa de estos tres representaciones es la representación deseada de $L'$.

Answer 2

En realidad, cualquier Mentira subgrupo está cerrado: un subgrupo que es un submanifold, de un determinado grupo Mentira, es una Mentira de los subgrupos, si y sólo si es colsed!

Answer 3

Lo siento, no lo entiendo! desde $\mathfrak{g}$ es isomorfo a $\exp\rho(\mathfrak{g})$ que es un cerrado lineal Mentira grupo (como una Mentira subgrupo de $GL(n)$) por lo que esta respuesta a la pregunta, ¿no?