Resolver

Question

Como dice el titulo, tengo que resolver: $\operatorname{cotan}(z) = 2 + i$

He conseguido esto ahora:

$$\tan(z) = \frac{1}{2+i} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$$

Pensé, tal vez escribiendo $z=x+iy$ funcionaría. Encontré lo siguiente en línea (a través de complejo exponencial): $$\tan(x+iy) = \frac{\sin(2x)+i\sinh(2y)}{\cosh(2y)+\cos(2x)}.$ $

Pero las partes real e imaginarias de la comparación realmente me da algo puedo trabajar con (o es solamente áspero trabajo?). ¡Se agradecería cualquier sugerencias o consejos!

Answer 1

La manera en estos problemas escribe $\tan$ como un cociente de exponenciales complejas. Que $w=\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$, entonces \begin{align} \frac{\sin z}{\cos z} &= w \ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}} &= iw \ \frac{1-e^{-2iz}}{1+e^{-2iz}} &=iw \ 1-e^{-2iz} &= iw(1+e^{-2iz}), \text{ so } e^{-2iz} = \frac{1-iw}{1+iw}. \end{align} vamos a calcular primero esa última fracción: %#% $ de #% estoy seguro de que usted puede verificar esto. Ahora tomando el logaritmo complejo en ambos lados da\begin{align} -2iz &= \text{Log}\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}e^{-i\pi/4+2k\pi i}\right) = \ln\frac{1}{2}\sqrt{2} + i\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi k\right)\ z &= \left(\frac{\pi}{8} + k\pi\right)+\frac{1}{4}i\ln 2 \end {Alinee el}

Answer 2

No hay necesidad de ir a través de la tangente. Tenga en cuenta que $$ \cot z=\frac{\cos z}{\sen z}= \frac{\dfrac{e^{i}+e^{-iz}}{2}}{\dfrac{e^{i}-e^{-iz}}{2i}}= i\frac{e^{i}+e^{-iz}}{e^{i}-e^{-iz}}=\frac{e^{2iz}+1}{e^{2iz}-1} $$ así que la ecuación puede escribirse como $$ ie^{2iz}+i=^{2iz}-w $$ o otra cosa $$ e^{2iz}(w-i)=w+i $$ y, finalmente, $$ e^{2iz}=\frac{w+i}{w} {- i} $$ con $w=2+i$. El lado derecho se convierte así en $$ \frac{2+i+i}{2+i-i}=1+i=\sqrt{2}e^{i\pi/4} $$ Escrito $z=x+iy$, el lado izquierdo se convierte en$e^{-2y}e^{2ix}$, por lo que tenemos $$ e^{-2}=\sqrt{2},\qquad e^{2ix}=e^{i\pi/4} $$ por lo $2y=-\log\sqrt{2}$$2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi$.