Cada subsequence de $\{f_{n}\}$ tiene un subsequence convergente casi uniformemente; ¿Esto implica convergencia en medida?

Question

Estoy haciendo algunos problemas de Terence Tao del blog a estudiar para una teoría de la medida el curso impartido basado en Royden y centrándose en las funciones con valores reales, y estoy atrapado en este problema. Han intentado algunos tipos de contables de la unión tipo de argumentos, pero no estoy muy lejos. Cualquier ayuda es muy apreciada.

El uso de la medida de Lebesgue, $\{f_{n}\}$ es una secuencia de funciones medibles, $f_{n}: E \to \mathbb{R}$. Supongamos que cada subsequence $\{f_{n_{k}}\}$ tiene una larga $\{f_{n_{k_{i}}}\}$ que converge casi uniformemente a una función medible $f$. A continuación, pretendemos $\{f_{n}\}$ converge en la medida de a $f$.

Answer 1

Si no converge ${fn}$ $f$ en medida, entonces hay un $\delta>0$ tal que $$ \mu \lim{n\rightarrow\infty} ({x\in\Bbb R: | f (x)-f_n (x) | \ge \delta}\ne 0. $$ Entonces, uno puede seleccionar un $\alpha>0$ y una secuencia creciente de números enteros ${nk}$ tal que $$ \mu ({x\in\Bbb R: | f (x)-f {n_k} (x) | \ge\delta } > \alpha,\quad\text{for todos} \ k. $$

Casi uniformemente no puedan converger los subsequence de ${f_{n_k}}$ $f$.