Integración de Feynman - ayuda con esta respuesta viejo

Question

Necesito ayuda para la comprensión de una respuesta: http://math.stackexchange.com/a/1808872/335418. La respuesta es de @Cuántica spaghettification (quien desde su perfil estadísticas parece no ser la más activa en este sitio):

Me pidió una aclaración allí, pero no parece que él/ella va a ver. Alguien me puede ayudar a entender esto?

Fragmento de la respuesta que no entiendo:

Ahora la integración de w.r.t. $a$ nos da: $$\frac{\partial I(t,0)}{\partial t}=-\int^0_{\infty}\frac{t}{a^2+t^2}da$$ making the substitution $a=t \tan(\theta)$ this becomes: $$\frac{\partial I(t,0)}{\partial t}=-\int^0_{\pi/2} da$$ $$=\frac{\pi}{2}$$ Then integrating w.r.t $t$: $$ I(1,0)=\int^1_0 \frac{\pi}{2} dt$$ $$=\frac{\pi}{2}$$

Mis preguntas:

1. Cuando el lado derecho de la primera ecuación es comenzar a integrar entre $\infty$$0$, a partir del paso anterior (no se pega), el lado izquierdo es equivalente a $$\int\limits_{\infty}^{0}\frac{\partial^2 I(t,a)}{\partial a\partial t} da$$ right? How is this the same as $$\frac{\partial I(t,0)}{\partial t}$$

2. Del mismo modo cómo es $$\int\limits_{0}^{1} \frac{\partial I(t,0)}{\partial t} dt$$ same as $$ I(1,0)$$

Answer 1

<blockquote> <p>Nota por el teorema Fundamental del cálculo</p> <p>$$\int^b_a f(x) \,dx= F(b)-F(a)$$</p> <p><em>Donde</em> $F'(x) = f(x)$.</p> </blockquote> <p>Suponiendo que</p> <p>$$I(t,a)=\int^\infty_{0}\frac{e^{-ax}\sin^2(xt)}{x^2}dx$$</p> <p>Entonces</p> <p>$$ \int\limits_{0}^{1} \frac{\partial I(t,0)} {\partial t} dt = I(1,0)-I(0,0)$ $</p> <p>Se concluye que</p> <p>$$I(0,0) = \lim_{t \to 0}\int^\infty_{0}\frac{\sin^2(xt)}{x^2}dx = 0 $$</p> <p>Del mismo modo</p> <p>$$\int\limits_{\infty}^{0}\frac{\partial^2 I(t,a)}{\partial a\partial t} da = \frac{\partial I(t,0)}{\partial a}-\frac{\partial I(t,\infty)}{\partial a}$$</p> <p>Donde</p> <p>$$\frac{\partial I(t,\infty)}{\partial a} = -\lim_{a\to \infty}\int^\infty_{0}\frac{e^{-ax}\sin^2(xt)}{x}dx = 0$$</p> <p><em>Aquí hay un montón de suposiciones que podemos cambiar el límite y los integrales.</em></p>