Solución de $f_n(x) = x + \dfrac{e^{-x}}{n}=0$

Question

Supongamos que $\forall x \in \mathbb {R}\quad f_n(x) = x + \dfrac{e^{-x}}{n}$ .

¿Cómo puedo demostrar que para $n\ge3$ $f_n(x)=0$ tiene exactamente dos soluciones $x_n$ y $y_n$ como $x_n\le -ln(n)$ y $\dfrac{e}{n}\le y_n\le 0$

Answer 1

Tenemos $f'_n(x)=1- \frac{e^{-x}}{n}$ Así que $f'_n$ es creciente, desaparece en $t_n=-\log n$ y toma el signo $-$ entonces $f$ es decreciente en el intervalo $(-\infty,t_n)$ y el signo + entonces $f$ es creciente en el intervalo $(t_n,+\infty)$ . Además, comprobamos fácilmente que $$\lim_{x\rightarrow+\infty}f_n(x)=+\infty\quad;\quad \lim_{x\rightarrow\infty}f_n(x)=+\infty$$ Tenemos $f_n(t_n)=-\log n+1<-\log e+1=0$ porque $n\geq 3$ por lo que hay exactamente dos soluciones $x_n<t_n=-\log n$ y $y_n>t_n$ .

Tenemos $f_n(0)=\frac{1}{n}>0$ y $t_n<0$ así que $y_n<0$ .

Desde $e<3\leq n$ tenemos $\frac{e}{n}<1=\log e\leq \log n$ así que $-\frac{e}{n}>t_n$ y $e^{e/n}>e$ entonces $f_n(-e/n)<0$ Por lo tanto $\frac{-e}{n}<y_n$ .

Answer 2

Al principio denotamos que $f_n(0)>0$ es válida para todos los $n$ . Como $-\frac{e}{n}$ es mayor igual $-1$ y así $f\left(\frac{-e}{n}\right)$ es inferior a $0$ . Como límite de $f_n(x)$ para $x\to -\infty$ es $\infty$ tenemos dos ceros.
Así que sabemos que hay al menos 2 ceros, pero este es el más obvio.

Ahora utilizamos el teorema del valor medio. Cuando $f$ habría $3$ cero su derivada debe tener 2 ceros y su segunda derivada debe tener 1 cero (al menos). Pero como la segunda derivada es $$\frac{\exp(-x)}{n}$$ que no tiene ningún cero, sabemos que hay exactamente $2$ ceros.

Answer 3

Dejemos que $u=e^{-x}$ entonces $$ f=-\log(u)+\frac un\\ -\frac1ne^{-f}=-u/n\,e^{-u/n}\\ u=-n\,\mathrm{W}\left(-e^{-f-\log(n)}\right) $$ donde $\mathrm{W}$ es el Función Lambert-W . Por lo tanto, $$ x=-\log\left(-n\,\mathrm{W}\left(-e^{-f-\log(n)}\right)\right) $$ Resolver para $f=0$ obtenemos $$ x=-\log\left(-n\,\mathrm{W}\left(-1/n\right)\right)\tag{1} $$ Desde $x=-\dfrac{e^{-x}}{n}$ , $(1)$ se convierte en $$ x=\mathrm{W}\left(-1/n\right)\tag{2} $$

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Lambert-W tiene dos ramas, ambas negativas, para argumentos en $\left(-\frac1e,0\right)$ uno en $(-1,0)$ y el otro en $(-\infty,-1)$ .

Cuando $n\gt e$ , $-\frac1n\in\left(-\frac1e,0\right)$ . $(1)$ dice $$ \begin{align} \mathrm{W}\in(-1,0)&\Rightarrow x>-\log(n)\tag{3}\\ \mathrm{W}\in(-\infty,-1)&\Rightarrow x<-\log(n)\tag{4} \end{align} $$

Así, para $n>e$ hay dos raíces, una mayor que $-\log(n)$ y uno menos que $-\log(n)$ .

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Estudiemos la rama de $\mathrm{W}$ tomando valores en $(-1,0)$ para que $x\gt-\log(n)$ .

Desde $\mathrm{W}'(0)=1$ la concavidad de $\mathrm{W}$ implica que $$ x=\mathrm{W}(-1/n)\le-\frac1n\tag{5} $$ Desde $\mathrm{W}(-1/e)=-1$ y $\mathrm{W}(0)=0$ la concavidad de $\mathrm{W}$ implica que $$ x=\mathrm{W}(-1/n)\ge-\frac en\tag{6} $$ Por lo tanto, $$ -\frac en\le x\le-\frac1n\tag{7} $$

Answer 4

Es más agradable trabajar con números positivos, por lo que $t=-x$ . Considere la función $f(t)=\frac{e^t}{n}-t$ .

Tenga en cuenta que $f'(t)=\frac{e^t}{n}-1$ . Así, $f$ es decreciente hasta que $t=\log n$ y, a continuación, se incrementa. En $t=\log n$ , $f(t)$ alcanza es un mínimo. Ese valor mínimo es $1-\log n$ que es negativo si $n \ge 3$ .

Por el Teorema del Valor Intermedio, existe una solución de la ecuación $f(t)=0$ entre $0$ y $\log n$ . Sólo hay una solución en este intervalo, ya que $f(t)$ disminuye constantemente en el intervalo.

Cuando $t$ es grande, $f(t)$ es positivo. Así que de nuevo por el Teorema del Valor Intermedio, $f(t)=0$ tiene una solución con $t\gt \log n$ . Por monotonicidad, sólo hay una solución en el intervalo $(\log n,\infty)$ .