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¿Hay alguna forma de comprender intuitivamente la magnitud del número de Graham?

He oído decir antes que el número de Graham es tan grande que es completamente incomprensible. Es mucho mayor que el número de átomos del universo, por lo que no puede relacionarse con cantidades reales, e insondablemente mayor incluso que cantidades hipotéticas, como el número de cubos de Planck de lados unitarios que podrían caber en el universo observable.

La gente suele detenerse en este punto y afirmar que simplemente es incomprensible, lo cual es bastante justo. Sin embargo, quiero saber más sobre qué números son dentro de la comprensión, y qué dispositivos "intuitivos" pueden utilizarse para comprenderlos. Por ejemplo, consideré analogías combinatorias, como el número de formas diferentes que hay de seleccionar la mitad de los átomos del universo (que contiene $10^{80}$ átomos):

$$10^{80} \choose 5 \times 10^{79}$$

o el número de maneras diferentes que hay de visitar cada átomo del universo exactamente una vez ("giras universales de átomos"?):

$$10^{80}! \over 2$$

o incluso, ¡el número de formas de seleccionar la mitad de los recorridos del átomo universal!

$${10^{80}! \over 2} \choose {10^{80}! \over 4}$$

Está claro que podemos seguir así, sacrificando la concisión semántica y el significado intuitivo en aras de mayores ganancias de magnitud. Incluso si, como imagino que es el caso, estas cantidades apenas arañan la superficie del número de Graham, supongo que estoy pidiendo dos cosas:

  • ¿Cómo se pueden evaluar y comparar las magnitudes de constructos extremadamente grandes como los que he dado?

  • Incluso si el número de Graham está fuera de nuestro alcance, ¿cuáles son los "dispositivos intuitivos" más eficaces para explicar la escala de cantidades extremadamente grandes a profanos como yo?

Gracias.

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"[El número de Graham]", dice, "es grande. Realmente grande. No vas a creer lo inmensamente, inmensamente, alucinantemente grande que es. Quiero decir, usted puede pensar que es un largo camino por el camino a [un googolplex], pero eso es sólo cacahuetes a [número de Graham], escucha ... "

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A ver si puedes conseguir una copia del ensayo de Asimov "¡Skewered!" sobre cómo dar sentido al número de Skewes (también fenomenalmente grande). Pasa por un proceso similar al que empiezas arriba. Pista: al final fracasa.

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Andy Puntos 394

Estoy a punto de demostrar que el número de Graham es un número tan grande que no hay forma de captar intuitivamente su magnitud, pero para ello debemos empezar por lo muy pequeño e ir subiendo.

Empezaremos con el número 9, que puede representarse como 3+3+3. Esto no está tan mal cuando sólo tienes tres 3 para escribir, pero ¿qué pasa si elijo un número que no es práctico para ser representado por +3, como 729, necesitaría la suma de 243 3, así que ahora vamos a utilizar la multiplicación. 729 ahora se puede representar como 3*3*3*3*3*3 ahora puedo representar números más grandes que antes, pero me encuentro con el mismo problema. Puedo elegir un número que no sea práctico para ser representado por la repetición del mismo operador de multiplicación.

7.625.597.484.987, por ejemplo, es la multiplicación de 27 3. Esa no es una buena manera de representar este número, así que ahora vamos a utilizar potencias para representar este número que es $3^{3^3}$ Otra forma de representarlo es $3 \uparrow 3 \uparrow 3$ donde cada flecha es "a la potencia del operador".

Los matemáticos se dieron cuenta de que cuando se trata de números que no son prácticos de escribir en un operador, se requiere un nuevo operador que sea más potente que el anterior. La notación de flechas es una forma de pasar de un operador a otro con facilidad. $\uparrow \uparrow$ es el operador siguiente a $\uparrow$ al igual que $\uparrow$ es el operador siguiente a la multiplicación, al igual que la multiplicación es el operador siguiente a la suma. Por tanto, al aumentar el número de flechas consecutivas, aumentará la capacidad de trabajar con números cada vez mayores.

Así que vimos cómo el tamaño de los números que se crearon cuando se utiliza $\uparrow$ . Ahora veamos el $\uparrow \uparrow$ . $3\uparrow \uparrow3\uparrow \uparrow3$ = $3\uparrow \uparrow(3\uparrow3\uparrow3)$ = $3\uparrow \uparrow7,625,597,484,987$ . Lo que significa que esto es $\uparrow3$ se utiliza el 3, ¡7.625.597.484.987 veces!

${{{{{{{{{{3}^3}^3}^3}^3}^3}^3}^3}^3}^\cdot\Rightarrow}$ ¡Una pila de tres de 7.625.597.484.987!

Para calcular este valor, empiece por los 3 primeros y vaya bajando.
$3^3 = 27$
$3^{27}=7,625,597,484,987$
$3^{7,625,597,484,987}$ tiene 3.638.334.640.024 dígitos.
El cuarto 3 es muy grande, pero googolplex tiene 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001 dígitos. Así que todavía algo en nuestra comprensión, pero el quinto 3 está muy fuera de nuestra comprensión.
3 se eleva a la potencia de un número de 3.638.334.640.024 cifras.
Googolplex es 10 elevado a la potencia de un número de 101 cifras.
Así que hemos utilizado sólo 5 de los 3 de la pila de 7.625.597.484.987 y ya se hace difícil de imaginar, pero este proceso se repite más de 7,6 billones de veces. Haciendo este proceso 5 veces pasamos de 3 a un número que hace que googolplex parezca diminuto. Así que la respuesta a la pila de 7.625.597.484.987 3's es un número estúpidamente grande. Este número es tan grande que si memorizaras todos los dígitos de este número tu cabeza se convertiría en un agujero negro. La cantidad máxima de entropía que se puede almacenar en tu cabeza contiene menos información que la información de esta pila de 3's.
[ http://m.youtube.com/watch?v=XTeJ64KD5cg ]

$$ \begin{array}{c|l|c|r} \text{operator representation} & \text{value} & \text{number of previous operator equivalent} \\ \hline 3*3*3 & 27 &\text{9 (+3)'s or 3+3+3+3+3+3+3+3+3}\\ 3\uparrow3\uparrow3& 7,625,597,484,987 &\text{27 (x3)'s or $3^{27}$} \\ 3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow3 & \text {stupidly big} & \text{7,625,597,484,987 ($\uparrow$ 3)'s}\\ 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3 & G_1 & \text {stupidly big ($\uparrow\uparrow3$)'s} \\ \end{array} $$

Si observa el cuadro anterior, se dará cuenta de que $3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3=G_1$ .
¿Por qué $G_1$ ¿Importante? Bueno, llegaré a eso en un minuto. Pero primero tengo que explicar que cada cambio de una operación a la siguiente es inimaginablemente mayor que el cambio anterior, por lo que se podría pensar que añadiendo unas cuantas flechas llegaríamos rápidamente al número de Graham, pero no es así. Ni siquiera se acerca.

¿Y si pusiera un subíndice en las flechas para indicar cuántas flechas tengo? Así $3\uparrow_{1000000}3$ es un millón de flechas, así que estoy un millón de operaciones por encima de la multiplicación y 999998 operaciones por encima de "estúpido grande" y el valor de cada operación es inimaginablemente mayor que el anterior. Así que seguramente ya habré alcanzado el número de Graham. La respuesta es no.

Recuerde $G_1$ ? Bueno, voy a escribir esto, $3\uparrow_{G_1}3$ .

Así que veamos si puedo desglosar esto.

"estúpidamente grande" hizo que googolplex pareciera diminuto tras 5 de 7.625.597.484.987 iteraciones. Aplicando $\uparrow\uparrow3$ a 3 veces "estúpidamente grande" me da $G_1$ y $G_1$ va a ser ahora el número de veces que se incrementa el operador. Donde cada operación es inimaginablemente mayor en comparación con la anterior. Entonces, ¿qué tan bien me encuentro contra el número de Graham en este punto? Ni siquiera cerca.

Por fin,

$G_2$ = $3\uparrow_{G_1}3$
$G_3$ = $3\uparrow_{G_2}3$
$G_4$ = $3\uparrow_{G_3}3$
$\vdots$
$\vdots$
$G_{64}$ = $3\uparrow_{G_{63}}3=\text{Graham's number}$

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Creo que me acabas de convertir en un ultra-finitista.

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¡¡¡¡AMAZING!!!! Demasiado buena descripción. Esta respuesta merece un $G_{64}$ número de upvotes. (¡obviamente exagerando!)

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Gran respuesta. Ahora me parece una tontería haber considerado alguna vez el número de Graham como accesible a la intuición. Sin embargo, sigo preguntándome cuáles son sus límites y qué funciones aprovecharían los dispositivos intuitivos especialmente eficaces.

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Simon Puntos 21

Imaginemos todos los átomos del universo, no sabemos cuántos son, pero digamos que son x. Ahora bien, si cada átomo del universo contuviera otro universo en su interior, y cada átomo en su interior contuviera otro universo más, y ese patrón continuara x cantidad de veces. Si se sumara el número total de átomos en todos los universos, entonces todavía sería menor que la raíz googleplexta del número de Graham. :)

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Simple Art Puntos 745

Voy a ir un paso más allá que quantus14. Una vez que se alcanza el número de Graham, la pregunta se convierte en

¿Cómo comparar y comprender eficazmente cifras aún mayores?

Bueno, lo primero que deberías pensar es en ver si puedes encontrar un número similar al tuyo en el Wiki de Googología dedicado enteramente a los grandes números y su estudio.

Mi segunda recomendación es aprender jerarquía de crecimiento rápido (FGH) que tiene una construcción similar a la notación de flecha hacia arriba de Knuth, pero se extiende mucho más allá. He aquí una buena Series de YouTube .

Definimos las dos primeras reglas de FGH del siguiente modo:

  1. $f_0(n)=n+1$

  2. $f_{\alpha+1}(n)=\underbrace{f_\alpha(f_\alpha(\dots f_\alpha(n)\dots))}_{n\text{ amount of }f_\alpha's}$

Una rápida demostración le mostrará lo rápido que crece:

$$\begin{align}f_1(5)&=f_0(f_0(f_0(f_0(f_0(5)))))\\&=f_0(f_0(f_0(f_0(6))))\\&=f_0(f_0(f_0(7)))\\&=f_0(f_0(8))\\&=f_0(9)\\&=10\end{align}$$

$$\begin{align}f_2(5)&=f_1(f_1(f_1(f_1(f_1(5)))))\\&=f_1(f_1(f_1(f_1(10))))\\&=f_1(f_1(f_1(20)))\\&=f_1(f_1(40))\\&=f_1(80)\\&=160\end{align}$$

$$\begin{align}f_2(160)&=\underbrace{f_1(f_1(\dots f_1(160)\dots))}_{160}\\&=5\times2^{165}\\f_3(5)&=f_2(f_2(f_2(f_2(f_2(5))))\\&=f_2(f_2(f_2(f_2(160)))\\&=f_2(f_2(f_2(f_2(f_2(5))))\\&=f_2(f_2(f_2(5\times2^{165}))\\&=f_2(f_2(\underbrace{f_1(f_1(\dots f_1(5\times2^{165})\dots))}_{5\times2^{165}})\end{align}$$

De hecho, verá que estas cifras superan rápidamente cualquier cosa que pudiera esperar escribir en una hoja de papel.

También tenemos aproximaciones a sus números, y por una rápida comprobación, están en torno al rango de $f_4(n)$ para algunos valores pequeños de $n$ .

...y luego tenemos la regla 3:

  1. $f_\alpha(n)=f_{\alpha[n]}(n)$

Esta norma es un poco confusa, así que permítanme que se lo explique:

$\alpha$ es un ordinal límite, que básicamente se traduce en el límite de alguna secuencia de números (una lista de números (o una lista de listas) si eres programador):

$$\alpha=\sup\{\alpha[1],\alpha[2],\alpha[3],\dots\}$$

En primer lugar, definimos $\omega$ sea el límite de la siguiente secuencia:

$$\omega=\sup\{1,2,3,\dots\}$$

Entonces tenemos $\omega[5]=5$ como el quinto término de esta secuencia, por lo que

$$f_\omega(5)=f_{\omega[5]}(5)=f_5(5)$$

Y a partir de ahí sabemos que esto es muy grande... mucho más grande que los números anteriores.

Para hacer frente a $\omega+1$ aplicamos la segunda regla, seguida de la tercera:

$$\begin{align}f_{\omega+1}(5)&=f_\omega(f_\omega(f_\omega(f_\omega(f_\omega(5)))))\\&=f_\omega(f_\omega(f_\omega(f_\omega(f_5(5)))))\end{align}$$

Así que usted puede ver lo grande que esto se pone, y se pone bastante grande. El número de Graham tiene una buena aproximación:

$$f_{\omega+1}(64)\approx\text{Graham 's number}$$

Así que esto es bastante simple y

$$f_{\omega+1}(64)=\underbrace{f_\omega(\dots f_\omega(64)\dots)}_{64}$$

Obsérvese que incluso podemos ir más allá:

$$\omega\cdot2=\sup\{\omega+1,\omega+2,\omega+3,\dots\}$$

Por ejemplo:

$$\begin{align}f_{\omega\cdot2}(5)&=f_{\omega+5}(5)\\&=f_{\omega+4}(f_{\omega+4}(f_{\omega+4}(f_{\omega+4}(f_{\omega+4}(5)))))\end{align}$$

Y luego nos expandiríamos más y más y más...

Y tenemos otros ordinales más grandes:

$$\omega^2=\{\omega\cdot1,\omega\cdot2,\omega\cdot3,\dots\}$$

¡Y más allá!

$$\omega^\omega=\{\omega^1,\omega^2,\omega^3,\dots\}$$

Aunque no es muy... visual, queda claro que se pueden hacer números muy muy grandes y, al mismo tiempo, comparar números grandes. Una de las grandes ventajas de FGH es la claridad de cómo comparar el número de Graham con otro número.

Y lo único que te impide producir números aún mayores es cómo quieres definir ordinales aún mayores.


Y un último ejemplo:

$$\begin{align}f_{\omega^\omega}(3)&=f_{\omega^3}(3)\\&=f_{\omega^2\cdot3}(3)\\&=f_{\omega^2\cdot2+\omega^2}(3)\\&=f_{\omega^2\cdot2+\omega\cdot3}(3)\\&=f_{\omega^2\cdot2+\omega\cdot2+3}(3)\\&=f_{\omega^2\cdot2+\omega\cdot2+2}(f_{\omega^2\cdot2+\omega\cdot2+2}(f_{\omega^2\cdot2+\omega\cdot2+2}(3)))\\&=\cdots\end{align}$$

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