Voy a ir un paso más allá que quantus14. Una vez que se alcanza el número de Graham, la pregunta se convierte en
¿Cómo comparar y comprender eficazmente cifras aún mayores?
Bueno, lo primero que deberías pensar es en ver si puedes encontrar un número similar al tuyo en el Wiki de Googología dedicado enteramente a los grandes números y su estudio.
Mi segunda recomendación es aprender jerarquía de crecimiento rápido (FGH) que tiene una construcción similar a la notación de flecha hacia arriba de Knuth, pero se extiende mucho más allá. He aquí una buena Series de YouTube .
Definimos las dos primeras reglas de FGH del siguiente modo:
-
$f_0(n)=n+1$
-
$f_{\alpha+1}(n)=\underbrace{f_\alpha(f_\alpha(\dots f_\alpha(n)\dots))}_{n\text{ amount of }f_\alpha's}$
Una rápida demostración le mostrará lo rápido que crece:
$$\begin{align}f_1(5)&=f_0(f_0(f_0(f_0(f_0(5)))))\\&=f_0(f_0(f_0(f_0(6))))\\&=f_0(f_0(f_0(7)))\\&=f_0(f_0(8))\\&=f_0(9)\\&=10\end{align}$$
$$\begin{align}f_2(5)&=f_1(f_1(f_1(f_1(f_1(5)))))\\&=f_1(f_1(f_1(f_1(10))))\\&=f_1(f_1(f_1(20)))\\&=f_1(f_1(40))\\&=f_1(80)\\&=160\end{align}$$
$$\begin{align}f_2(160)&=\underbrace{f_1(f_1(\dots f_1(160)\dots))}_{160}\\&=5\times2^{165}\\f_3(5)&=f_2(f_2(f_2(f_2(f_2(5))))\\&=f_2(f_2(f_2(f_2(160)))\\&=f_2(f_2(f_2(f_2(f_2(5))))\\&=f_2(f_2(f_2(5\times2^{165}))\\&=f_2(f_2(\underbrace{f_1(f_1(\dots f_1(5\times2^{165})\dots))}_{5\times2^{165}})\end{align}$$
De hecho, verá que estas cifras superan rápidamente cualquier cosa que pudiera esperar escribir en una hoja de papel.
También tenemos aproximaciones a sus números, y por una rápida comprobación, están en torno al rango de $f_4(n)$ para algunos valores pequeños de $n$ .
...y luego tenemos la regla 3:
- $f_\alpha(n)=f_{\alpha[n]}(n)$
Esta norma es un poco confusa, así que permítanme que se lo explique:
$\alpha$ es un ordinal límite, que básicamente se traduce en el límite de alguna secuencia de números (una lista de números (o una lista de listas) si eres programador):
$$\alpha=\sup\{\alpha[1],\alpha[2],\alpha[3],\dots\}$$
En primer lugar, definimos $\omega$ sea el límite de la siguiente secuencia:
$$\omega=\sup\{1,2,3,\dots\}$$
Entonces tenemos $\omega[5]=5$ como el quinto término de esta secuencia, por lo que
$$f_\omega(5)=f_{\omega[5]}(5)=f_5(5)$$
Y a partir de ahí sabemos que esto es muy grande... mucho más grande que los números anteriores.
Para hacer frente a $\omega+1$ aplicamos la segunda regla, seguida de la tercera:
$$\begin{align}f_{\omega+1}(5)&=f_\omega(f_\omega(f_\omega(f_\omega(f_\omega(5)))))\\&=f_\omega(f_\omega(f_\omega(f_\omega(f_5(5)))))\end{align}$$
Así que usted puede ver lo grande que esto se pone, y se pone bastante grande. El número de Graham tiene una buena aproximación:
$$f_{\omega+1}(64)\approx\text{Graham 's number}$$
Así que esto es bastante simple y
$$f_{\omega+1}(64)=\underbrace{f_\omega(\dots f_\omega(64)\dots)}_{64}$$
Obsérvese que incluso podemos ir más allá:
$$\omega\cdot2=\sup\{\omega+1,\omega+2,\omega+3,\dots\}$$
Por ejemplo:
$$\begin{align}f_{\omega\cdot2}(5)&=f_{\omega+5}(5)\\&=f_{\omega+4}(f_{\omega+4}(f_{\omega+4}(f_{\omega+4}(f_{\omega+4}(5)))))\end{align}$$
Y luego nos expandiríamos más y más y más...
Y tenemos otros ordinales más grandes:
$$\omega^2=\{\omega\cdot1,\omega\cdot2,\omega\cdot3,\dots\}$$
¡Y más allá!
$$\omega^\omega=\{\omega^1,\omega^2,\omega^3,\dots\}$$
Aunque no es muy... visual, queda claro que se pueden hacer números muy muy grandes y, al mismo tiempo, comparar números grandes. Una de las grandes ventajas de FGH es la claridad de cómo comparar el número de Graham con otro número.
Y lo único que te impide producir números aún mayores es cómo quieres definir ordinales aún mayores.
Y un último ejemplo:
$$\begin{align}f_{\omega^\omega}(3)&=f_{\omega^3}(3)\\&=f_{\omega^2\cdot3}(3)\\&=f_{\omega^2\cdot2+\omega^2}(3)\\&=f_{\omega^2\cdot2+\omega\cdot3}(3)\\&=f_{\omega^2\cdot2+\omega\cdot2+3}(3)\\&=f_{\omega^2\cdot2+\omega\cdot2+2}(f_{\omega^2\cdot2+\omega\cdot2+2}(f_{\omega^2\cdot2+\omega\cdot2+2}(3)))\\&=\cdots\end{align}$$
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"[El número de Graham]", dice, "es grande. Realmente grande. No vas a creer lo inmensamente, inmensamente, alucinantemente grande que es. Quiero decir, usted puede pensar que es un largo camino por el camino a [un googolplex], pero eso es sólo cacahuetes a [número de Graham], escucha ... "
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Ver también math.stackexchange.com/preguntas/2497/
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A ver si puedes conseguir una copia del ensayo de Asimov "¡Skewered!" sobre cómo dar sentido al número de Skewes (también fenomenalmente grande). Pasa por un proceso similar al que empiezas arriba. Pista: al final fracasa.
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@ryan-reich No puedo conseguir "¡Skewered!" tristemente, pero según mi evaluación el número de formas de seleccionar la mitad de los recorridos del átomo universal es mayor que el número de Skewes. Está al menos en el mismo rango (creo), lo que sugiere que el número de Skewes está al alcance de la intuición (o al menos, de la forma ampliada de intuición de la que hablo en la OP).