integración de unidad móvil sin sustitución de $x^x \ln x$

Question

Integrar esto sin cualquier sustitución, puramente algebraico:

$$x^x \ln ex$$

Lo he intentado mucho pero no han sido capaces de:

$$x^x \ (ln x + 1) = \ln x^{x^x} + x^x$$

o $e^{x \ln x}\ln (x+1)$, he probado todos estos métodos

¿Cómo proceder después de esto?

Answer 1

Que $y=x^x$, entonces el $$\ln y=x\ln x\implies \frac{y'}{y}=\ln x+1\ y'=x^x(\ln x+1)=x^x\ln(ex)$$then $$\int x^x\ln(ex)=y+c=x^x+c$ $

Answer 2

Comentario se convirtió en respuesta por la petición.

Aviso $$ x ^ x \log(ex) = x ^ x (1 + \log x) = x ^ x (x\log x)' = x ^ x (\log x ^ x)' = x ^ x \frac {(x^x)'} {x ^ x} = (x ^ x)' $$

Tenemos

$$\int x^x \log(ex) dx = \int d(x^x) = x^x + \text{constant.}$$