Si consideras $g_2, g_3, \Delta, \lambda$ como funciones de la ratio del período
$\tau$, entonces usted tiene que agregar ciertos factores para conseguir la verdadera igualdad.
Esto es evidente por el hecho de que las formas modulares $g_2, g_3, \Delta$
tienen distinto de cero peso: Aquellas funciones que sobrepasan con
los poderes de $\tau$ cuando la sustitución de $\tau$$-\tau^{-1}$.
Por otro lado, $\lambda$ solo cambia de a $1-\lambda$,
por lo tanto los lados derechos de (*) peso cero.
El factor en cuestión es una potencia adecuada de un peso-1 de forma modular.
Para obtenerlo, el uso de la fórmula conocida
$$\begin{align}
g_2 &= 60 \operatorname{G}_4
& g_3 &= 140 \operatorname{G}_6
\\ \operatorname{G}_4 &= 2\zeta(4)\operatorname{E}_4
= \frac{\pi^4}{45}\operatorname{E}_4
& \operatorname{G}_6 &= 2\zeta(6)\operatorname{E}_6
= \frac{2\pi^6}{945}\operatorname{E}_6
\\ \operatorname{E}_4 &= \frac{1}{2}
\left(\varTheta_{00}^8 + \varTheta_{01}^8 + \varTheta_{10}^8\right)
& \operatorname{E}_6 &= \frac{1}{2}
(\varTheta_{00}^4 + \varTheta_{01}^4)
(\varTheta_{00}^4 + \varTheta_{10}^4)
(\varTheta_{01}^4 - \varTheta_{10}^4)
\\ \lambda &= \frac{\varTheta_{10}^4}{\varTheta_{00}^4}
& 1 - \lambda &= \frac{\varTheta_{01}^4}{\varTheta_{00}^4}
\\ \Delta &= g_2^3 - 27 g_3^2 = (2\pi)^{12} \operatorname{D}
& \operatorname{D} &=
\frac{\operatorname{E}_4^3-\operatorname{E}_6^2}{1728}
= \frac{1}{256}\varTheta_{00}^8 \varTheta_{01}^8 \varTheta_{10}^8
\end{align}$$
donde $\varTheta_{00}, \varTheta_{01}, \varTheta_{10}$
Jacobi Thetanull funciones (de $\tau$, como todo lo demás aquí),
y $\operatorname{G}_k$ $\operatorname{E}_k$
Eisenstein serie de peso $k$, $\operatorname{E}_k$ normalizado
para rendir $\lim_{\Im\tau\to\infty}\operatorname{E}_k(\tau) = 1$.
Eliminar $\varTheta_{01}, \varTheta_{10}$ a favor de las $\varTheta_{00}$
y $\lambda$. Luego se llega a
$$\begin{align}
g_2 &= f^4 \frac{1 - \lambda + \lambda^2}{12}
\\ g_3 &= f^6 \frac{(2-\lambda)(1+\lambda)(1-2\lambda)}{432}
\\ \Delta &= f^{12} \frac{(1 - \lambda)^2 \lambda^2}{256}
\\\text{with}\quad f &= 2\pi\varTheta_{00}^2
\end{align}$$
Dicho esto, en la curva elíptica ecuaciones,
los poderes de $f$ puede ser transformada de distancia,
cual es la razón por la Greenhill puede hacer lo que usted ha descrito.
Adenda.
Supongamos que en lugar de utilizar el homogeneizada 2-parámetro de forma de celosía
para $g_2, g_3, \operatorname{G}_4, \operatorname{G}_6, \Delta$, por ejemplo,
$$\operatorname{G}_k(\omega_1,\omega_2) =
\omega_2^{-k}\operatorname{G}_k(\tau,1)
\quad\text{con}\quad \tau = \frac{\omega_1}{\omega_2}$$
Set $\omega_2 = f(\tau)$ y ajustar a $\omega_1 = \tau\omega_2$ respectivamente.
A continuación, el mencionado resultado puede escribirse como
$$\begin{align}
g_2(\omega_1,\omega_2) &= \frac{1 - \lambda + \lambda^2}{12}
\\ g_3(\omega_1,\omega_2) &= \frac{(2-\lambda)(1+\lambda)(1-2\lambda)}{432}
\\ \Delta(\omega_1,\omega_2) &= \frac{(1 - \lambda)^2 \lambda^2}{256}
\\\text{with}\quad \omega_2 &= 2\pi\varTheta_{00}^2
\end{align}$$
que es lo que Greenhill estados.
Nota sin embargo que esto requiere específicamente normalizado de celosía;
la normalización no es a $\omega_2=1$ sino $\omega_2=f(\tau)$.
De hecho, para $\tau$ en un cierto subconjunto de $\mathbb{H}$,
podemos identificar
$$f = 4K(\sqrt{\lambda})$$
donde $K$ es una completa integral elíptica.
Esto da como resultado uno de los canónica de períodos utilizados para Jacobina de funciones elípticas.
