Soluciones monocromáticas a $x_{1}+x_{2}+\cdots+ x_{m}=x_{m+1}$

Question

Cuál es el % menos $n$que cualquier colorante $2$ $[n]$ tiene una solución monocromática a la ecuación
$$x{1}+x{2}+\cdots+ x{m}=x{m+1}.$$

Creo que la respuesta es $m^{2}+m-1$. Tengo un colorante de $[m^{2}+m-2]$ con ninguna solución monocromática. Así $n\geq m^{2}+m-1$. Estoy buscando la otra desigualdad. Pero no tengo ni idea de cómo enfocar el problema. Cualquier sugerencias sería muy bueno. Gracias.

Answer 1

(A continuación, los intervalos de denota entero intervalos, es decir, $[a,b]=\{n\in\mathbb N\mid a\le n\le b\}$, y los colores son el rojo y el azul).

Para ver el límite inferior, se puede considerar el colorante donde $[1,m-1]\cup[m^2,m^2+m-2]$ es de color rojo, y $[m,m^2-1]$ es de color azul. Este colorante no nos da ninguna monocromática soluciones a $$x_1+\dots+x_m=x_{m+1}. $$

A ver que cualquier $2$colorear de $[m^2+m-1]$ nos da un monocromático solución, continúe por la contradicción, y considerar la posibilidad de un supuesto contraejemplo.

• Podemos suponer $\color{red}{1}$ es de color rojo, por lo $\color{blue}{m}=\color{red}{1}\cdot m$ es de color azul y $\color{red}{m^2}=\color{blue}m\cdot m$ es de color rojo.
• Desde $\color{red}{1},\color{red}{m^2}$ son de color rojo, a continuación, $\color{red}{1}\cdot(m-1)+\color{red}{m^2}=\color{blue}{m^2+m-1}$ azul.
• Desde $\color{blue}{m},\color{blue}{m^2+m-1}=\color{blue}{m}\cdot(m-1)+(\color{red}{2m-1})$ son de color azul, a continuación, $\color{red}{2m-1}$ es de color rojo, y desde $\color{red}{2m-1}=\color{red}{1}+\color{blue}{2}\cdot(m-1)$, $\color{blue}{2}$ es de color azul, que nos da ese $\color{blue}{2}\cdot(m-1)+\color{blue}{m}=\color{red}{3m-2}$ es de color rojo.
• Desde $\color{red}{1},\color{red}{3m-2}$ son de color rojo, a continuación, $\color{red}{1}\cdot(m-1)+\color{red}{3m-2}=\color{blue}{4m-3}$ azul. Pero desde $\color{blue}{4m-3}=\color{red}{3}\cdot(m-1)+\color{blue}{m}$, $\color{red}{3}$ es de color rojo, y por lo tanto $\color{blue}{m+2}=\color{red}{1}\cdot(m-1)+\color{red}{3}$ azul.
• Ahora tenemos una contradicción, ya que $\color{red}{3}\cdot m=\color{blue}{2}\cdot(m-1)+\color{blue}{m+2}$, y no importa si $3m$ es de color rojo o azul, obtenemos un monocromático la solución a la ecuación, en contra de la hipótesis.

Por cierto, en Ramsey teoría sobre los números enteros, por Bruce Landman y Aarón Robertson, usted puede encontrar este resultado y generalizaciones, discutido en la sección $8.2$. El argumento para el límite superior que les acabo de mostrar es una adaptación de un resultado que demostrar (véase el Teorema $8.21$).