(A continuación, los intervalos de denota entero intervalos, es decir, [a,b]={n∈N∣a≤n≤b}, y los colores son el rojo y el azul).
Para ver el límite inferior, se puede considerar el colorante donde [1,m−1]∪[m2,m2+m−2] es de color rojo, y [m,m2−1] es de color azul. Este colorante no nos da ninguna monocromática soluciones a x1+⋯+xm=xm+1.
A ver que cualquier 2colorear de [m2+m−1] nos da un monocromático solución, continúe por la contradicción, y considerar la posibilidad de un supuesto contraejemplo.
- Podemos suponer 1 es de color rojo, por lo m=1⋅m es de color azul y m2=m⋅m es de color rojo.
- Desde 1,m2 son de color rojo, a continuación, 1⋅(m−1)+m2=m2+m−1 azul.
- Desde m,m2+m−1=m⋅(m−1)+(2m−1) son de color azul, a continuación, 2m−1 es de color rojo, y desde 2m−1=1+2⋅(m−1), 2 es de color azul, que nos da ese 2⋅(m−1)+m=3m−2 es de color rojo.
- Desde 1,3m−2 son de color rojo, a continuación, 1⋅(m−1)+3m−2=4m−3 azul. Pero desde 4m−3=3⋅(m−1)+m, 3 es de color rojo, y por lo tanto m+2=1⋅(m−1)+3 azul.
- Ahora tenemos una contradicción, ya que 3⋅m=2⋅(m−1)+m+2, y no importa si 3m es de color rojo o azul, obtenemos un monocromático la solución a la ecuación, en contra de la hipótesis.
Por cierto, en Ramsey teoría sobre los números enteros, por Bruce Landman y Aarón Robertson, usted puede encontrar este resultado y generalizaciones, discutido en la sección 8.2. El argumento para el límite superior que les acabo de mostrar es una adaptación de un resultado que demostrar (véase el Teorema 8.21).