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Soluciones monocromáticas a x1+x2++xm=xm+1

Cuál es el % menos nque cualquier colorante 2 [n] tiene una solución monocromática a la ecuación
$$x{1}+x{2}+\cdots+ x{m}=x{m+1}.$$

Creo que la respuesta es m2+m1. Tengo un colorante de [m2+m2] con ninguna solución monocromática. Así nm2+m1. Estoy buscando la otra desigualdad. Pero no tengo ni idea de cómo enfocar el problema. Cualquier sugerencias sería muy bueno. Gracias.

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Greg Case Puntos 10300

(A continuación, los intervalos de denota entero intervalos, es decir, [a,b]={nNanb}, y los colores son el rojo y el azul).

Para ver el límite inferior, se puede considerar el colorante donde [1,m1][m2,m2+m2] es de color rojo, y [m,m21] es de color azul. Este colorante no nos da ninguna monocromática soluciones a x1++xm=xm+1.

A ver que cualquier 2colorear de [m2+m1] nos da un monocromático solución, continúe por la contradicción, y considerar la posibilidad de un supuesto contraejemplo.

  • Podemos suponer 1 es de color rojo, por lo m=1m es de color azul y m2=mm es de color rojo.
  • Desde 1,m2 son de color rojo, a continuación, 1(m1)+m2=m2+m1 azul.
  • Desde m,m2+m1=m(m1)+(2m1) son de color azul, a continuación, 2m1 es de color rojo, y desde 2m1=1+2(m1), 2 es de color azul, que nos da ese 2(m1)+m=3m2 es de color rojo.
  • Desde 1,3m2 son de color rojo, a continuación, 1(m1)+3m2=4m3 azul. Pero desde 4m3=3(m1)+m, 3 es de color rojo, y por lo tanto m+2=1(m1)+3 azul.
  • Ahora tenemos una contradicción, ya que 3m=2(m1)+m+2, y no importa si 3m es de color rojo o azul, obtenemos un monocromático la solución a la ecuación, en contra de la hipótesis.

Por cierto, en Ramsey teoría sobre los números enteros, por Bruce Landman y Aarón Robertson, usted puede encontrar este resultado y generalizaciones, discutido en la sección 8.2. El argumento para el límite superior que les acabo de mostrar es una adaptación de un resultado que demostrar (véase el Teorema 8.21).

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