Esta es una pregunta relativa a la solución de una pregunta del libro de Adams sobre Cálculo. La pregunta se refiere a si la función $f(x) = \sqrt{|x|}$ tiene una línea tangente en $x = 0$ . La respuesta es no. Pero al revisar el manual de soluciones, Adams razona así. Él escribe:
Desde $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{|0+h|}-0}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{|h|\operatorname{sgn}{(h)}}$ no existe
Mi pregunta es sobre esta igualdad. Las expresiones límite no son iguales, ni siquiera cerca de $0$ , por ejemplo en $h=\frac{1}{2}$ .
¿Es un error tipográfico? ¿Se trata de alguna propiedad de los límites que desconozco? Mis propios cálculos me llevaron a que el primer límite fuera igual a $\frac{1}{\sqrt{|h|}}\text{sgn}{(h)}$ lo que también demuestra que el límite no existe (¿verdad?). Pero no explica la respuesta de Adams. Y concretamente, ¿existe alguna situación en la que pueda "eliminar las raíces" de esta manera? ¿Y si el límite existiera?
Gracias de antemano.
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Debe haber una errata en el manual. Tu solución es efectivamente correcta y, como has señalado, da la respuesta correcta.
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Tampoco estoy de acuerdo con la respuesta. Una línea tangente en $x=0$ existe, a saber: una vertical. La cuestión no es la diferenciabilidad.
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@Adayah Adams define una línea tangente a una función $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ En el punto $x_0$ como una línea que pasa por el punto $(x_0, f(x_0)) $ con la pendiente dada por el límite anterior, con disposiciones para que los límites sean inequívocamente iguales a $\infty$ y $-\infty$ cuando la tangente es vertical. Si el límite no existe de ninguna otra manera, no hay línea tangente. ¿En qué sentido es vertical la tangente en $x = 0$ ?
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Aproxima la gráfica hasta un término cuadrático en la distancia de $0$ .